This dissertation aims at a detailed study of the Hilbert function and graded Betti number and the statements of some theorems that relate these two theories. We will also a brief overview on free resolutions and minimal simplicial complex to demonstrate the theorem of Bayer, Sturmfels and Peeva and then, we will conclude with the following result: given an ideal J we will display a set X P2 such that the minimal resolution the ideal of de nition of X has the same Betti diagram of the minimal resolution of J.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESEsta disserta¸c˜ao tem como objetivo um estudo detalhado da fun¸c˜ao de Hilbert e do n´umero graduado de Betti e as demonstra¸c˜oes de alguns teoremas que relacionam essas duas teorias. Faremos tamb´em um breve apanhado sobre resolu¸c˜oes livres minimais e complexo simplicial para demonstrar o teorema de Bayer, Peeva e Sturmfels e por fim e n˜ao menos importante concluiremos com o seguinte resultado: dado um ideal J exibiremos um conjunto X P2 tal que a resolu¸c˜ao minimal do ideal de defini¸c˜ao de X tenha o mesmo diagrama de Betti da resolu¸c˜ao minimal de J.