We study an optimal control problem for the stationary Stokes equations with variable density and viscosity in a 2D bounded domain under mixed boundary conditions. On in-flow and out-flow parts of the boundary, nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions are used, while on the solid walls of the flow domain, the impermeability condition and the Navier slip condition are provided. We control the system by the external forces (distributed control) as well as the velocity boundary control acting on a fixed part of the boundary. We prove the existence of weak solutions of the state equations, by firstly expressing the fluid density in terms of the stream function (Frolov formulation). Then, we analyze the control problem and prove the existence of global optimal solutions. Using a Lagrange multipliers theorem in Banach spaces, we derive an optimality system. We also establish a second-order sufficient optimality condition and show that the marginal function of this control system is lower semi-continuous.Estudiamos un problema de control óptimo para las ecuaciones de Stokes estacionarias con densidad y viscosidad variables en un dominio acotado 2D bajo condiciones de contorno mixtas. En las partes de flujo de entrada y salida del límite, se utilizan condiciones de límite de Dirichlet no homogéneas, mientras que en las paredes sólidas del dominio de flujo, se proporcionan la condición de impermeabilidad y la condición de deslizamiento de Navier. Controlamos el sistema mediante las fuerzas externas (control distribuido), así como el control del límite de velocidad que actúa sobre una parte fija del límite. Probamos la existencia de soluciones débiles de las ecuaciones de estado, expresando primero la densidad del fluido en términos de la función de corriente (formulación de Frolov). Luego, analizamos el problema de control y probamos la existencia de soluciones óptimas globales. Usando un teorema de multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach, derivamos un sistema de optimización. También establecemos una condición de optimalidad suficiente de segundo orden y mostramos que la función marginal de este sistema de control es semicontinua inferior.