We introduce new necessary conditions for the existence and uniqueness of stationary weak solutions and the existence of the weak solutions for the evolution problem in the system arising from the modeling of the bioconvective flow problem. Our analysis is based on the application of the Galerkin method, and the system considered consists of three equations: the nonlinear Navier-Stokes equation, the incompressibility equation, and a parabolic conservation equation, where the unknowns are the fluid velocity, the hydrostatic pressure, and the concentration of microorganisms. The boundary conditions are homogeneous and of zero-flux-type, for the cases of fluid velocity and microorganism concentration, respectively.Introducimos nuevas condiciones necesarias para la existencia y unicidad de soluciones débiles estacionarias y la existencia de soluciones débiles para el problema de evolución en el sistema que surge del modelado del problema de flujo bioconvectivo. Nuestro análisis se basa en la aplicación del método de Galerkin, y el sistema considerado consta de tres ecuaciones: la ecuación no lineal de Navier-Stokes, la ecuación de incompresibilidad y una ecuación de conservación parabólica, donde las incógnitas son la velocidad del fluido, la presión hidrostática, y la concentración de microorganismos. Las condiciones de contorno son homogéneas y de tipo flujo cero, para los casos de velocidad del fluido y concentración de microorganismos, respectivamente.