En el presente documento se pretende estudiar con cierto grado de profundidad la transformada de Laplace en el campo de los complejos como método para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con condiciones iniciales y de frontera, aunque solo se estudiarán los casos lineales. Se demostrará la analiticidad de la transformada de Laplace, las propiedades más importantes de este operador integral y se listan las transfromadas de algunas funciones elementales; seguidamente se estudia la transformada inversa, se mencionan algunos métodos para calcularla con ayuda de la teoría de la variable compleja basada en los residuos y el Teorema de Cauchy, luego, se aplican todos los resultados dados para resolver problemas modelados con la ecuación de onda y la ecuación calor.Resumen IIIAbstract IVIntroducción 11. Preliminares 31.1. Teoremas de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 41.3. Diferenciabilidad compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Integración compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Teoría de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.1. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.2. Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.3. La función Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. La transformada de Laplace 102.1. Definición de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Teoremas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Teoremas de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Analiticidad de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Teorema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . 203. Transformada inversa de Laplace 213.1. Relación con la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Fórmula de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Unicidad de la transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Inversión de fracciones polinómicas mediante fracciones parciales . . . . . . . 253.5. Teorema de los residuos para encontrar transformadas inversas de cociente de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6. Transformada inversa de Laplace de funciones con puntos de ramificación . . . 293.7. Transformada inversa de Laplace para funciones con infinitos polos . . . . . . . 344. Aplicaciones a problemas con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 374.1. La ecuación de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. La transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Bibliografía 46PregradoMatemático(a)Monografías