Tesis Doctorado
Análisis numérico para ecuaciónes diferenciales estocásticas dirigidas por movimientos brownianos fracciónariós
Autor
Clarke de la Cerda, Jorge Andrés
Institución
Resumen
Esta tesis aborda el estudio de ecuaciones diferenciales estoc´asticas (EDE’s) dirigidas por procesos
multiparam´etricos autosimilares con el objetivo de sentar un aporte al c´alculo estoc´astico
respecto a este tipo de procesos y as´ı ampliar el conjunto de aplicaciones de las EDE’s y los
fen´omenos suceptibles de ser modelados por estas. En particular se estudiaron tres tipos de EDE’s
dirigidas por procesos fraccionarios, analizando diferentes caracter´ısticas y propiedades de estas.
Tambi´en se define la integral de Wiener con respecto a la s´abana de Hermite y se ejemplifica su
uso a trav´es de una EDE.
El movimiento Browniano fraccionario (mBf) puede considerarse en muchos sentidos como la
generalizaci´on natural del movimiento Browniano standard (mBs), sin embargo, las herramientas
desarrolladas para el c´alculo estoc´astico con respecto a este ´ultimo dejan de ser ´utiles para el mBf
ya que este no es una semi-martingala ni tampoco es markoviano.
As´ı, la primera parte de esta tesis consiste en analizar una EDE con delay dirigida por un mBf cuyo
par´ametro de autosimilaridad H pertenece al intervalo ( 1
2
, 1). A trav´es de un m´etodo num´erico se
estudia una aproximaci´on a tiempo discreto para la soluci´on de la ecuaci´on, se prueba la convergencia
fuerte y se establece la velocidad de la misma.
Posteriormente se avanza hacia los casos multiparam´etricos. Se analiz´o la s´abana fraccionaria
de Ornstein-Uhlenbeck (sfOU), la cual es definida como la soluci´on de una ecuaci´on de Langevin dirigida
por una s´abana Browniana fraccionaria (sBf), siendo este ´ultimo proceso anisotr´opico y para
el cual se consider´o la situaci´on en que sus par´ametros de autosimilaridad α y β son mayores que 1
2
(i.e. memoria larga). Se construy´o un estimador de m´ınimos cuadrados para el par´ametro de tendencia
de la sfOU, se demostr´o la consistencia fuerte del estimador y que este no es asint´oticamente
normal, esto ´ultimo en contraste con el caso uniparam´etrico.
Continuando con el estudio de campos aleatorios, la tercera parte de esta tesis se dedic´o al
estudio de una ecuaci´on estoc´astica de la onda con ruido aditivo fraccionario en el tiempo y coloreado
en el espacio. Se demostraron cotas ´optimas para la regularidad de la soluci´on tanto temporal
como espacial, lo que posteriormente permite establecer la regularidad conjunta en funci´on de una
m´etrica bien definida. Esto junto con algunos conceptos de Teor´ıa de Potencial permiti´o establecer
cotas superiores e inferiores para las probabilidades de arrivo de la soluci´on.
Finalmente, la ´ultima parte de esta tesis presenta un aporte en la construcci´on del c´alculo
estoc´astico con respecto a los procesos de Hermite, los cuales son caracterizados por el par´ametro
de autosimilaridad H y el par´ametro q. A diferencia de los procesos estudiados previamente, los
procesos de Hermite son Gaussianos solo cuando q = 1, caso en que se recupera el mBf.
Se define la s´abana de Hermite (sH) como una integral m´ultiple con respecto a la sBs y se introducen
las integrales de Wiener con respecto a ´esta, lo que junto con otros resultados presentados
previamente en esta tesis permiten analizar a modo de ejemplo una EDE de la onda con respecto
a la sH, se define su soluci´on y se demuestra la regularidad temporal, espacial y conjunta de esta.
Otros resultados adicionales tambi´en son presentados. PFCHA-Becas Doctor en Ciencias Aplicadas Mención Ingeniería Matemática 117p. PFCHA-Becas TERMINADA