We consider a two-component linearly coupled system with the intrinsic cubic nonlinearity and the harmonic-oscillator (HO) confining potential. The system models binary settings in BEC and optics. In the symmetric system, with the HO trap acting in both components, we consider Josephson oscillations (JO) initiated by an input in the form of the HO's ground state (GS) or dipole mode (DM), placed in one component. With the increase of the strength of the self-focusing nonlinearity, spontaneous symmetry breaking (SSB) between the components takes place in the dynamical JO state. Under still stronger nonlinearity, the regular JO initiated by the GS input carries over into a chaotic dynamical state. For the DM input, the chaotization happens at smaller powers than for the GS, which is followed by SSB at a slightly stronger nonlinearity. In the system with the defocusing nonlinearity, SSB does not take place, and dynamical chaos occurs in a small area of the parameter space. In the asymmetric half-trapped system, with the HO potential applied to a single component, we first focus on the spectrum of confined binary modes in the linearized system. The spectrum is found analytically in the limits of weak and strong inter-component coupling, and numerically in the general case. Under the action of the coupling, the existence region of the confined modes shrinks for GSs and expands for DMs. In the full nonlinear system, the existence region for confined modes is identified in the numerical form. They are constructed too by means of the Thomas-Fermi approximation, in the case of the defocusing nonlinearity. Lastly, particular (non-generic) exact analytical solutions for confined modes, including vortices, in one- and two-dimensional asymmetric linearized systems are found. They represent bound states in the continuum.Consideramos un sistema acoplado linealmente de dos componentes con la no linealidad cúbica intrínseca y el potencial de confinamiento del oscilador armónico (HO). El sistema modela configuraciones binarias en BEC y óptica. En el sistema simétrico, con la trampa de HO actuando en ambas componentes, consideramos oscilaciones de Josephson (JO) iniciadas por una entrada en forma de estado fundamental (GS) o modo dipolar (DM) de HO, colocada en una componente. Con el aumento de la fuerza de la no linealidad de autoenfoque, se produce la ruptura de simetría espontánea (SSB) entre los componentes en el estado JO dinámico. Bajo una no linealidad aún más fuerte, el JO regular iniciado por la entrada GS se traslada a un estado dinámico caótico. Para la entrada DM, la caotización ocurre a potencias más pequeñas que para la GS, seguida de SSB con una no linealidad ligeramente más fuerte. En el sistema con la no linealidad de desenfoque, SSB no tiene lugar y el caos dinámico ocurre en una pequeña área del espacio de parámetros. En el sistema semiatrapado asimétrico, con el potencial HO aplicado a un solo componente, primero nos enfocamos en el espectro de modos binarios confinados en el sistema linealizado. El espectro se encuentra analíticamente en los límites de acoplamiento débil y fuerte entre componentes, y numéricamente en el caso general. Bajo la acción del acoplamiento, la región de existencia de los modos confinados se contrae para GS y se expande para DM. En el sistema no lineal completo, la región de existencia de los modos confinados se identifica en forma numérica. Se construyen también mediante la aproximación de Thomas-Fermi, en el caso de la no linealidad desenfocada. Por último, se encuentran soluciones analíticas exactas particulares (no genéricas) para modos confinados, incluidos los vórtices, en sistemas linealizados asimétricos unidimensionales y bidimensionales. Representan estados ligados en el continuo.