Geometric Structures Generated by the Same Dynamics. Recent Results and Challenges

Estructuras Geométricas Generadas por la Misma Dinámica. Resultados y desafíos recientes

dc.contributorvayala@academicos.uta.cl; ajsilvaa@unicamp.br; jayalhoff@gmail.com
dc.contributorFondecyt [1190142]; Fapesp [2020/12971-4]; CNPq [309820/2019-7]
dc.contributorDa Silva, Adriano https://orcid.org/0000-0003-3306-0141
dc.creatorAyala, Victor
dc.creatorDa Silva, Adriano
dc.creatorAyala, Jose
dc.date2023-04-18T01:49:17Z
dc.date2023-04-18T01:49:17Z
dc.date2022
dc.date.accessioned2023-09-27T20:20:35Z
dc.date.available2023-09-27T20:20:35Z
dc.identifierhttps://repositorio.uta.cl/xmlui/handle/20.500.14396/2380
dc.identifier2073-8994
dc.identifier10.3390/sym14040661
dc.identifier0T4ON
dc.identifierWOS:000786947800001
dc.identifier.urihttps://repositorioslatinoamericanos.uchile.cl/handle/2250/8943612
dc.descriptionThe main contribution of this review is to show some relevant relationships between three geometric structures on a connected Lie group G, generated by the same dynamics. Namely, Linear Control Systems, Almost Riemannian Structures, and Degenerate Dynamical Systems. These notions are generated by two ordinary differential equations on G: linear and invariant vector fields. A linear vector field on G is determined by its flow, a 1-parameter group of Aut(G), the Lie group of G-automorphisms. An invariant vector field is just an element of the Lie algebra g of G. The Jouan Equivalence Theorem and the Pontryagin Maximum Principal are instrumental in this setup, allowing the extension of results from Lie groups to arbitrary manifolds for the same kind of structures which satisfy the Lie algebra finitude condition. For each structure, we present the first given examples; these examples generate the systems in the plane. Next, we introduce a general definition for these geometric structures on Euclidean spaces and G. We describe recent results of the theory. As an additional contribution, we conclude by formulating a list of open problems and challenges on these geometric structures. Since the involved dynamic comes from algebraic structures on Lie groups, symmetries are present throughout the paper.
dc.descriptionLa principal contribución de esta revisión es mostrar algunas relaciones relevantes entre tres estructuras geométricas en un grupo de Lie G conectado, generado por la misma dinámica. A saber, sistemas de control lineal, estructuras casi riemannianas y sistemas dinámicos degenerados. Estas nociones son generadas por dos ecuaciones diferenciales ordinarias en G: campos vectoriales lineales e invariantes. Un campo vectorial lineal en G está determinado por su flujo, un grupo de 1 parámetro de Aut(G), el grupo de Lie de automorfismos G. Un campo vectorial invariante es solo un elemento del álgebra de Lie g de G. El teorema de equivalencia de Jouan y el principal máximo de Pontryagin son fundamentales en esta configuración, lo que permite la extensión de los resultados de los grupos de Lie a variedades arbitrarias para el mismo tipo de estructuras que satisfacen la condición de finitud del álgebra de Lie. Para cada estructura, presentamos los primeros ejemplos dados; estos ejemplos generan los sistemas en el plano. A continuación, presentamos una definición general para estas estructuras geométricas en espacios euclidianos y G. Describimos resultados recientes de la teoría. Como contribución adicional, concluimos formulando una lista de problemas y desafíos abiertos sobre estas estructuras geométricas. Dado que la dinámica involucrada proviene de estructuras algebraicas sobre grupos de Lie, las simetrías están presentes a lo largo del artículo.
dc.formatapplication/pdf
dc.format18 páginas
dc.languageEnglish
dc.publisherMDPI
dc.relationSymmetry-Basel, vol.14 no.4 (2022)
dc.relationhttps://doi.org/10.3390/sym14040661
dc.rightsgold
dc.rightsAcceso abierto
dc.sourceSymmetry-Basel
dc.subjectLinear Control Systems
dc.subjectAlmost Riemannian Structures
dc.subjectDegenerate Dynamical Systems
dc.subjectSingular Locus
dc.subjectLinear-Systems
dc.subjectControl Sets
dc.subjectControllability
dc.subjectSistemas de Control Lineal
dc.subjectEstructuras Casi Riemannianas
dc.subjectSistemas Dinámicos Degenerados
dc.subjectLugar Singular
dc.subjectSistemas Lineales
dc.subjectConjuntos de Control
dc.subjectControlabilidad
dc.titleGeometric Structures Generated by the Same Dynamics. Recent Results and Challenges
dc.titleEstructuras Geométricas Generadas por la Misma Dinámica. Resultados y desafíos recientes
dc.typeReview


Este ítem pertenece a la siguiente institución