Trabajo de grado - Pregrado

Extensiones de la distribución normal-potencia para datos bimodales asimétricos con soporte positivo

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Autor
Ceña Tapia, Isaías Enrique
Institución
Resumen
In many fields of science it is assumed that the observations under study are normally distributed, which frequently generates errors in the results since this assumption does not always coincide with the characteristics that the data actually present. Additionally, in some cases, the data can have degrees of asymmetry and/or kurtosis greater or lower than the normal distribution can capture, and in others, the data can present two or more modes. Although an alternative to deal to the particular case of the asymmetric data is reparametrization or transformation, this can generate difficulties in the interpretation of the results. In this work, new families of asymmetric distributions to fit bimodal data with positive support and high and/or low degrees of kurtosis are presented. The new families are obtained from extensions of the power-model distribution (PN) introduced by Durrans (1992), called; bimodal log-power-normal distribution and elliptical bimodal log-power-normal distribution. For the proposed models, the main properties are studied such as: the probability density function, cumulative distribution function, survival function, hazard function; moments and moment-generating function. The process of estimating the parameters is carried out by using the maximum likelihood method, and the usefulness of the proposed distributions are illustrated using a data set consisting of 85 observations on nickel concentration in soil samples that have been analyzed at the Department of Mines of the University of Atacama, Chile.
 
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
 
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
 
1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
 
2. Marco Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
 
2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
 
2.2. Marco Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
 
2.2.1. Distribución Normal Asimétrica (SN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
 
2.2.2. Distribución Alfa Potencia (AP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
 
2.2.3. Distribución Normal Potencia (PN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
 
2.2.4. Propiedades de las distribuciones alfa-potencia . . . . . . . . . . . . . . . 9
 
2.2.5. Extensión de localización-escala de las distribuciones alfa-potencia . . . . 9
 
2.2.6. Distribución Log Alfa Potencia (LAP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
 
2.2.7. Distribución Log Normal Potencia (LPN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
 
2.2.8. Distribuciones Bimodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
 
3. Distribución Bimodal Log-Normal-Potencia (BLPN). . . . . . . . . . . . . . . 20
 
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 
3.2. Función de Supervivencia y Función Hazard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 
3.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 
3.3.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 
3.3.2. Caso particular del modelo BLPN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 
3.3.3. Momentos para el caso estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 
3.4. Extensión de localización-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 
3.5. Momentos y función generadora de momentos para el caso localización-escala . . . . 25
 
3.6. Estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
 
3.6.1. Funciones score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
 
3.6.2. Matriz de información observada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
 
4. Distribución Bimodal Elíptica Log-Normal-Potencia (EBLPN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
 
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
 
4.2. Función de Supervivencia y Función Hazard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 
4.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 
4.3.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 
4.3.2. Caso particular del modelo EBLPN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 
4.3.3. Momentos para el caso estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
 
4.4. Extensión de localización-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
 
4.5. Momentos y función generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
 
4.6. Estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
 
4.6.1. Funciones Score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
 
5. Aplicabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
 
5.1. Ilustración: Datos de Concentración de Níquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
 
5.1.1. Prueba de bondad de ajuste de Anderson Darling (AD) para los datos de concentración de níquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
 
6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
 
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
 
En muchos campos de la ciencia se asume que las observaciones en estudio tienen una distribución normal, lo que genera frecuentemente errores en los resultados, ya que este supuesto no siempre coincide con las características que realmente presentan los datos. Adicionalmente, en algunos casos, los datos pueden tener grados de asimetría y/o curtosis mayores o menores que los que puede capturar la distribución normal, y en otros, los datos pueden presentar dos o más modas. Si bien, una alternativa para abordar el caso particular de los datos asimétricos es la reparametrización o transformación, esto puede generar dificultades en la interpretación de los resultados. En este trabajo, se presentan nuevas familias de distribuciones asimétricas para ajustar datos bimodales con soporte positivo y grados altos y/o bajos de curtosis. Las nuevas familias se obtienen a partir de extensiones de la distribución normal-potencia (PN) introducido por Durrans (1992), denominadas; distribución bimodal log-normal-potencia y distribución bimodal elíptica log-normal-potencia. Para las distribuciones propuestas se estudian las principales propiedades tales como: función de densidad de probabilidad, función de distribución acumulada, función de supervivencia, función de riesgo; momentos y función generadora de momentos. El proceso de estimación de los parámetros se lleva a cabo utilizando el método de máxima verosimilitud y la utilidad de las distribuciones propuestas se ilustra utilizando un conjunto de datos que consta de 85 observaciones sobre la concentración de níquel en muestras de suelo que han sido analizadas en el Departamento de Minas de la Universidad de Atacama, Chile.
 
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