TCC(graduação) - Universidade Federal de Santa Catarina. Campus Blumenau. Licenciatura em MatemáticaNesta monografia, exploraremos topologias que garantem a compacidade da bola fechada unitária em um espaço vetorial normado e tal que os operadores lineares de seu espaço dual permaneçam contínuos. Inicialmente, será introduzida uma abordagem sobre topologia geral, trazendo conceitos básicos para o entendimento dos assuntos sucessores. Em seguida, estudaremos exemplos de espaços vetoriais normados, operadores lineares contínuos e suas propriedades. Também apresentaremos os teoremas fundamentais da Análise Funcional e analisaremos a relação entre os espaços vetoriais normados e seus espaços biduais. Por fim, identificaremos a topologia fraca como a menor topologia tal que os operadores lineares do espaço dual permaneçam contínuos e, sob determinadas condições, mostraremos que a bola unitária fechada de um espaço vetorial normado é compacta nessa topologia.In this monograph, we will explore topologies that guarantee the compactness of the closed unit ball in a normed vector space and such that the linear operators of its dual space remain continuous. Initially, an approach to general topology will be introduced, bringing basic concepts to the understanding of successor subjects. Next, we will study examples of normed vector spaces, continuous linear operators and their properties. We will also present the fundamental theorems of Functional Analysis and we will analyze the relationship between the normed vector spaces and their bidual spaces. Finally, we will identify the weak topology as the smallest topology such that the linear operators of the dual space remain continuous and, under certain conditions, we will show that the closed unit ball of a normed vector space is compact in this topology.