Trabajo de grado - Maestría
Estimación y predicción del modelo ARCH para la volatilidad a través de embebimientos de distribuciones de probabilidad en espacios de Hilbert con kernel reproductivo
Registro en:
Universidad Tecnológica de Pereira
Repositorio Institucional Universidad Tecnológica de Pereira
Autor
Villa Gil, María Fernanda
Institución
Resumen
Este documento pretende dar una revisión a la teoría de los embebimientos de distribuciones de probabilidad en un RKHS y los avances relacionados con ellos, se contextualizan y aplican a la estimación y la predicción de la volatilidad con el modelo ARCH con ecuaciones de Yule Walker y el método de la preimagen, en este orden de ideas, se propone un operador, que enfocado en la traza de la matriz kernel permite optimizar capacidad computacional además de disminuir el ruido generado por la simetría del kernel. Se comparan los resultados de los experimentos con el error medio cuadrático, respecto al cual se concluye que el modelo ARCH embebido en el espacio de Hilbert tiene mejores resultados que el método de máxima verosimilitud y que el operador de traza propuesto en combinación con el kernel T-Student,presenta mejores resultados que el de distribuciones de probabilidad empíricas. Maestría Magíster en Matemática Indice general
0.1. Notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Introducci´on 9
1.1. Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Problema de Investigaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Antecedentes y justificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1. Actividades para la estimaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2. Actividades para la predicci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.3. Actividades para el experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Espacios de Hilbert con kernel reproductivo 21
2.1. Algunos conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Teorema de Mercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2. Mapeo de caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Espacio de Hilbert con kernel Reproductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Teorema de representaci´on de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Teorema del representador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4. Propiedad Reproductiva del kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
2.2.5. kernel es una medida de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.6. Tipos importantes de kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. M´etodos basados en kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. El truco del kernel y la kernelizaci´on por teor´ıa de la representaci´on . . . . 42
2.4.1. El truco del kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2. kernelizaci´on por teor´ıa de la representaci´on . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3. Embebimientos de distribuciones de probabilidad en un RKHS . . . 48
2.4.4. Estimaci´on emp´ırica de distribuciones de probabilidad . . . . . . . 52
3. Series de tiempo 53
3.1. Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1. Propiedades de la esperanza condicional con respecto a una variable
aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. Procesos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3. Procesos autorregresivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Ecuaciones de Yule-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5. Modelo autorregresivo en un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1. Algunas caracter´ısticas relevantes de las series de tiempo financieras 60
3.6. Modelos ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.1. Modelaci´on de la volatilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.2. Estructura del modelo Heteroced´astico . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.3. Modelo ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.4. Estimaci´on y predicci´on de un modelo ARCH(p) . . . . . . . . . . 64
3.6.5. Predicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. Modelo Arch en un RKHS 67
4.1. Estimaci´on del modelo ARCH en un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . 67
4.1.1. Esperanza de kernels como operador de embebimiento de distribuciones
de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.2. Operador de traza para embebimiento de distribuciones de probabilidad 74
4.1.3. Predicci´on del modelo ARCH en el RKHS . . . . . . . . . . . . . . 76
3
4.1.4. M´etodo de la preimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2. Resultados experimentales del Embebimiento del modelo ARCH en el RKHS 78
4.2.1. Descripci´on de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2. GBPEUR=X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3. Validaci´on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. Conclusiones 97
5.1. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98