En esta tesis primero estudiamos la dinámica global de campos vectoriales planners en distintas situaciones: (I) el camp vectorial es polynomial homogéneo de grado cuatro; (II) el campo vectorial es dado por una función Hamiltonian polynomial con simetría (con respecto a la reflexión (x; y) -> (-x; y)) de grado cinco; (III) el campo vectorial es dado por una función Hamiltoniana separable de grado cinco;(IV) el campo vectorial es dado por una Hamiltoniano mecánico con potencial racional. Segundo, estudiaremos la existencia de ciclos limites para una perturbación de un systems Hamiltoniano con centro de tipo linear y que presenta simetría de reflexión con respecto a la primera coordenada (case (V)). Ahora, cams a precisar los principales problemas abordados en esta tesis. Para (I) presentamos el estudio de todos los retratos de fase posibles para sistemas polynomials homogeneous de grado cuatro, es decir, sistemas del tipo: x' = P(x,y) = P_(10) x^4 + 4 P_(11) x^3 y + 6 P_(12) x^2 y^2 + 4 P_(13) x y^3 + P_(14) y^4 y' = Q(x,y) = Q_(10) x^4 + 4 Q_(11) x^3 y + 6 Q_(12) x^2 y^2 + 4 Q_(13) x y^3 + Q_(14) y^4: P_(ij) ;Q_(ij) en R. Con el fin de estudiar la dinámica global primeros damos las formas canónicas para polinomios homogéneos de grado cinco. La principal idea es estudiar la función asociada F = x Q - y P, y las rectas invariantes, para analizar los puntos de equilibrio infinitos y su estabilidad, veremos que los puntos de equilibrio infinito determinan los retratos de fase de los sistemas previos. Considerando las formas canónicas caracterizamos todos los retratos de fase en el disco de Poincaré para todos los sistemas polinomiales homogéneos de grado cuatro. Más precisamente, existen 24 retratos de fase topológicamente equivalentes para sistemas diferenciales homogéneos de grado cuártico. Para el problema (II) consideramos un sistema Hamiltoniano de grado cuatro con un centro de tipo linear en el origen, entonces establecimos una caracterización de este tipo de sistemas Hamiltonianos, relacionado con la forma canónica de grado cinco mencionada arriba. Más precisamente, relacionado a este tópico, estudiamos el sistema Hamiltoniano cuya función Hamiltoniana es H(x; y) =1/2 (x^2 + y^2) + a x^4 y + b x^2 y^3 + c y^5; a; b; c en R, la cual posee simetría de reflexión con respecto al eje y. Damos todos los retratos de fase y diagramas de bifurcación en función de sus parámetros. El caso (V) es una continuación natural del caso (II) puesto que hemos agregado al systems Hamiltoniano una perturbación polinomial de la forma: x' = -y - x^4 - 3 b x^2 y^2 - 5 c y^4 +Sum_{i=1}^{7} epsilon^i p_i (x,y); y_ = x + 4 x^3 y + 2 b x y^3 ++Sum_{i=1}^{7} epsilon^i q_i (x,y); donde la perturbación es p_i (x, y) = a_1^i x + a_2^i y + a_3^i x^2 + a_4^i x y +a_5^i y^2 + a_6^i x^3+a_7^i x^2 y +a_8^i x y^2 + a_9^i y^3 + a_(10)^i x^4 + a_(11)^i x^3 y + a_(12)^i x^2 y^2 + a_(13)^i x y^3 + a_(14)^i y^4; q_i (x, y) = b_1^i x + b_2^i y + b_3^i x^2 + b_4^i x y +b_5^i y^2 + b_6^i x^3+b_7^i x^2 y +b_8^i x y^2 + b_9^i y^3 + b_(10)^i x^4 + b_(11)^i x^3 y + b_(12)^i x^2 y^2 + b_(13)^i x y^3 + b_(14)^i y^4: Estudiamos el número de ciclos limites bifurcando desde el origen, como función de los parámetros reales b, c, a_k^i y b_k^i para k = 1,...,14. Probamos usando la teoría del promedio de orden 7, que existen sistemas polinomiales de grado cuántico que tiene 3 ciclos límites bifurcando desde el origen. Caso (III) consiste en el estudio de sistemas Hamiltonianos separables de grado cinco con un center de tipo linear cuya función Hamiltoniana es H(x; y) = H_1(x)+H_2(y), donde H_1(x) = 1/2 x^2+ a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5 y H_2(y) = 1/2 y^2+b_3 y^3+ b_4 y^4+ b_5 y^5. Describimos todos los retratos de fase posibles sobre el disco de Poincaré como función de los seis parámetros reales a_3, a_4, a_5, b_3, b_4 y b_5 con a_5 b_5 no nulo. Finalmente, en (IV) estudiamos un tipo especial de funciones Hamiltonianas las cuales son dadas por una función Hamiltonian mecánica, cuyo potencial es una función racional, entonces la función Hamiltonian tiene la forma H(x, y) = y^2/2 + P(x)/Q(x), P(x);Q(x) en R[x] son polinomios, en particular H es la suma de energía cinética y energía potencial racional. presentamos un resultado general era la dinámica asociada a este problema, damos formas normales dadas por un conveniente cambio de variables simpléctico. Luego, la clasificación de retratos de fase globales topológicamente equivalentes para sistemas Hamiltonianos asociados en el disco de Poincaré en los casos donde grado(P) = 0; 1; 2 y grado(Q) = 0; 1; 2 son estudiados como función de los parámetros que definen cada polinomio. Extendemos este estudio al caso particular cuando grado(P)= 0 y grado(Q) = 3. Finalmente, mostramos algunas aplicaciones interesantes.In this thesis firstly we study the global dynamics of planar vector fields in different situations: (I) the vector field is a homogeneous polynomial of degree four; (II) the vector field is given by a symmetric (with respect to the reflection (x; y) -> (-x; y)) polynomial Hamiltonian function of degree five; (III) the vector field is given by a separable polynomial Hamiltonian function of degree five; (IV) the vector field is given by a Hamiltonian mechanic (or simply Hamiltonian) with rational potential. Secondly, we study the existence of limit cycles for a perturbation of one Hamiltonian system with a linear type center and present the symmetry of reflection with respect to the first coordinate (case (V)). Now, we are going to precise the principal problems covered in this thesis. For (I) we present the study of all the possible phase portraits for polynomial homogeneous systems of degree four, i.e., of systems on the type: x' = P(x,y) = P_(10) x^4 + 4 P_(11) x^3 y + 6 P_(12) x^2 y^2 + 4 P_(13) x y^3 + P_(14) y^4 y' = Q(x,y) = Q_(10) x^4 + 4 Q_(11) x^3 y + 6 Q_(12) x^2 y^2 + 4 Q_(13) x y^3 + Q_(14) y^4: P_(ij) ;Q_(ij) in R. In order to study the global dynamics we first provide the canonical forms for the homogeneous polynomial of degree five. The principal idea is to study the associated function F = x Q - y P and the invariant straight lines, in order to analize the infinite equilibrium points and their stability, we will see that the infinite equilibrium points determine the phase portraits of the previous systems. Considering the canonical forms we characterize all the phase portraits in the Poincaré disk for all quartic homogeneous polynomial differential systems. More precisely, there are exactly 24 different topological phase portraits for the quartic homogeneous polynomial differential systems. For the problem (II) we consider a Hamiltonian system of degree four with a linear type center at the origin, so we establish a characterization of this type of Hamiltonian system, related to the canonical forms of degree five mentioned above. More precisely, related with this topic, we study the Hamiltonian system whose Hamiltonian function is H(x; y) =1/2 (x^2 + y^2) + a x^4 y + b x^2 y^3 + c y^5; a; b; c in R, which possesses a reflection symmetry with respect to the y-axis. We give all the global phase portraits and its bifurcation diagram in function of its parameters. The case (V) is a natural continuation of the case (II) because we have added to the Hamiltonian system a polynomial perturbation of the form x' = -y - x^4 - 3 b x^2 y^2 - 5 c y^4 +Sum_{i=1}^{7} epsilon^i p_i (x,y); y_ = x + 4 x^3 y + 2 b x y^3 ++Sum_{i=1}^{7} epsilon^i q_i (x,y); where the perturbation is in the form p_i (x, y) = a_1^i x + a_2^i y + a_3^i x^2 + a_4^i x y +a_5^i y^2 + a_6^i x^3+a_7^i x^2 y +a_8^i x y^2 + a_9^i y^3 + a_(10)^i x^4 + a_(11)^i x^3 y + a_(12)^i x^2 y^2 + a_(13)^i x y^3 + a_(14)^i y^4; q_i (x, y) = b_1^i x + b_2^i y + b_3^i x^2 + b_4^i x y +b_5^i y^2 + b_6^i x^3+b_7^i x^2 y +b_8^i x y^2 + b_9^i y^3 + b_(10)^i x^4 + b_(11)^i x^3 y + b_(12)^i x^2 y^2 + b_(13)^i x y^3 + b_(14)^i y^4: We study the number of limit cycles bifurcating from the origin, as function of the real parameters b, c, a_k^i and b_k^i for k = 1,...,14. We prove using the averaging theory of order 7, that there are quartic polynomial systems close to these Hamiltonian system having 3 limit cycles bifurcating from the origin. Case (III) consists in the study of separable Hamiltonian system of degree five with a linear type center whose Hamiltonian function is H(x; y) = H_1(x)+H_2(y), where H_1(x) = 1/2 x^2+ a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5 and H_2(y) = 1/2 y^2+b_3 y^3+ b_4 y^4+ b_5 y^5. We describe all the possible phase portraits on the Poincaré disk as function of the six real parameters a_3, a_4, a_5, b_3, b_4 and b_5 with a_5 b_5 not null. Finally, in (IV) we study a special type of Hamiltonian functions which are given by a Mechanic Hamiltonian function, whose potential is a rational function, so the Hamiltonian function has the form H(x, y) = y^2/2 + P(x)/Q(x), P(x);Q(x) in R[x] are polynomials, in particular H is the sum of the kinetic energy and a rational potential energy. We present a general result for the dynamics associated to this problem, we provide the normal forms by a suitable -symplectic change of variables. Then, the global topological classification of the phase portraits of the Hamiltonian systems associated in the Poincaré disk in the cases where degree(P) = 0; 1; 2 and degree(Q) = 0; 1; 2 are studied as a function of the parameters that define each polynomial. We extend the study to some particular case when degree(P)= 0 and degree(Q) = 3. Finally, we show some interesting applications.PFCHA-BecasPFCHA-Becas