Tesis de licenciatura en matemáticasUno de los principales problemas de la topología es saber cuándo dos espacios topológicos no son homeomorfos, lo cual en general es muy difícil, pues, para demostrar que dos espacios topológicos son homemorfos hay que encontrar tan sólo un hemeomorfismo, pero al contrario, para demostrar que no lo son, hay que demostrar que no existe un homeomorfismo, y es imposible revisar cada función y decidir si es un homeomorfismo. Podemos en cambio, encontrar propiedades topológicas, es decir, propiedades de un espacio topológico que se conserven bajo homeomorfismos, entre los que tenemos: Conexidad, compacidad, los axiomas de numerabilidad y separación, etcétera, podemos usar esto para saber que la bola cerrada no es homeomorfa a la bola abierta y que ésta no es homeomorfa a la unión disjunta de dos bolas abiertas. Esta lista de propiedades topológicas no es suficiente, pues si revisamos cada una de ellas ninguna nos distingue entre la esfera y el toro que sabemos por intuición que no pueden ser homeomorfos. La topología algebraica nos da nuevas propiedades topológicas que, mediante el álgebra nos hacen distinguir la esfera del toro. La intención de esta tesis es introducir al lector la topología algebraica, y presentarle el primer grupo de homotopía o grupo fundamental y que aprecie la importancia de éste. Esta tesis esta separada en 3 secciones. La primera, posiblemente la parte más topológica, nos presenta el grupo fundamental, y algunas otras definiciones como homotopía y por supuesto algunos resultados sobre ellos, esta sección es para presentar al lector las herramientas topológicas con que se va a trabajar. La segunda sección es puramente algebraica y se estudian los grupos libres, que como veremos, además de ser interesante por sí misma, nos va a ser de gran ayuda en la última sección que es la central de esta tesis como el título indica; esta sección la dedicamos al teorema de Seifter-Van Kampen que nos dice cómo es la estructura de los grupos fundamentales de muchos espacios topológicos y como aplicación calcularemos los grupos fundamentales del toro, etc., así como el plano proyectivo, la botella de Klein y sumas conexas de éstos. Suponemos que el lector esté familiarizado con conceptos básicos de topología general, como continuidad, compacidad, conexidad por trayectorias, espacios producto y cociente y en algunos momentos se hace referencia a los axiomas de separación. También el lector debe estar familiarizado con el concepto de grupo, subgrupo, subgrupo normal.Universidad de Sonora, División de Ciencias Exactas y Naturales, 2008