Numerical solutions of the scroll wave type on reaction-diffusion systems: Applications to cardiac dynamics
Autor
RODRIGUEZ PADILLA, JESUS JAIRO; 366106
RODRIGUEZ PADILLA, JESUS JAIRO
Institución
Resumen
Tesis de doctorado en ciencias especialidad matemáticas Los modelos matemáticos han jugado un papel muy importante a lo largo de la historia de la ciencia. Con la teoría de ecuaciones diferenciales desarrollada por Newton, surgió una cantidad infinita de posibilidades para describir los fenómenos que aparecen en la naturaleza. En biología molecular, el uso de modelos matemáticos tuvo su gran avance con el trabajo realizado en 1952 por los profesores Alan Lloyd Hodgkin y Andrew Hux. ley donde desarrollaron un modelo matemático para describir y explicar los mecanismos iónicos que subyacen en la iniciación y propagación de los potenciales de acción en las células nerviosas. En 1963 recibieron el premio Nobel de fisiología-medicina debido a este notable logro. El trabajo realizado por Hodgkin y Huxley no solo se ha utilizado para estudiar el sistema nervioso. Juntos, Arturo Rosenblueth y Norbert Wiener, en su artículo de investigación “La formulación matemática del problema de la conducción de impulsos en una red de elementos excitables conectados, específicamente en el músculo cardíaco”, en 1946, fue el punto de partida de la investigación teórica en este campo. Su artículo aparentemente trata sobre la arritmia cardíaca y su formulación matemática. El modelo de Wiener y Rosenblueth describe la propagación de una onda excitable. Considera el movimiento de curvas con extremos libres que representan el frente de onda. La característica atractiva de este modelo cinemático es que imita perfectamente las ecuaciones de difusión-reacción biofísica de ondas en medios excitables en la ventana de parámetros de excitabilidad débil (Brazhnik et al. (1988); Mikhailov y col. (1994)). La teoría cinemática de la propagación de ondas intenta seguir los aspectos espaciales y temporales basándose únicamente en los procesos biofísicos fundamentales subyacentes. Puede predecir diferencias entre el patrón de aura espacio-temporal causado por un fenómeno neural y el causado por un fenómeno vascular. A partir de aquí, ha habido una gran cantidad de investigaciones dedicadas a comprender el origen y la aparición de las arritmias cardíacas. surgido con esta investigación en curso ha permitido comprender propiedades como: velocidad de propagación, duración del potencial de acción (APD), estudios sobre el origen y ruptura de espirales, responsables de la aparición de anomalías dinámicas en la propagación de potenciales de acción. una amplia gama de modelos en el estudio de la propagación del potencial de acción, que dependen del tipo de célula que se esté modelando. Algunos ejemplos incluyen el modelo Noble de 4 variables (células de Purkinje), el modelo Beeler-Reuter, que es un modelo ventricular genérico que consta de 8 variables, el modelo diez Tusscher-Noble-Noble-Panfilov, que es un modelo ventricular humano con 24 variables, el modelo Modelo de Courtemanche-Ramirez-Nattel (1998), compuesto por 21 variables, que modela las células auriculares humanas, por nombrar algunas, todos estos modelos han sido desarrollados, en su mayoría, gracias al trabajo experimental. Dependiendo de los diferentes tipos de preguntas que queramos abordar, nos inclinamos hacia un modelo determinado. Una desventaja al utilizar estos modelos es que no existe una solución analítica y, por lo tanto, se requiere que se resuelvan mediante una computadora. El principal problema que surge al resolver las ecuaciones en estos modelos es que hay una amplia variedad de dinámicas en ellos que se presentan en escalas de tiempo muy diferentes. Como consecuencia de esto, se requieren muy pequeñas discretizaciones espaciales junto con muy pequeños pasos de tiempo para obtener soluciones numéricas estables. El propósito principal de esta tesis es desarrollar y probar métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales del tipo de reacción de difusión. Más precisamente, las PDE que aparecen en la dinámica cardíaca. La solución numérica de ecuaciones que modelan la propagación de los potenciales de acción en el tejido cardíaco es un problema muy difícil. Múltiples escalas temporales que surgen de la dinámica local unidas a la rigidez del operador de difusión, dan como resultado un fenómeno que evoluciona en una escala espacio-temporal múltiple. La solución de tales ecuaciones en dos y tres dimensiones puede llevar mucho tiempo y memoria, estas ecuaciones forman parte de una familia mayor conocida como ecuaciones de reacción-difusión y una de las principales características de este tipo de ecuaciones es la rigidez tanto en la difusión como en la reactiva. partes. Además de la rigidez de la parte de difusión de la ecuación, las corrientes activas que conducen a un cambio en el voltaje de la membrana son altamente no lineales. Se han observado ondas de desplazamiento y anillos de desplazamiento, un tipo especial de soluciones a los sistemas de reacción-difusión de ecuaciones, en ecuaciones excitables. media, en particular en el tejido cardíaco, donde se asocian con arritmias cardíacas. Universidad de Sonora. División de Ciencias Exactas y Naturales. Programa de Posgrado en Matemáticas, 2018