Distribuciones bivariadas discretas

Abstract

RESUMEN: Las distribuciones discretas univariadas son usadas frecuentemente en diversas aplicaciones como prácticas en probabilidad y en otras áreas de estudio. En cualquier texto introductorio de probabilidad o estadística es seguro encontrarse con las siguientes distribuciones: de Bernoulli, binomial, de Poisson, hipergeométrica, geométrica y binomial negativa. La distribución de Bernoulli modela experimentos aleatorios en los que sólo se observa uno de dos resultados posibles, identificados como "éxito" o "fracaso". Un ejemplo clásico es el experimento que consiste en lanzar una moneda, el resultado observable es "águila" o "sol". Las restantes distribuciones pueden ser obtenidas a partir de la distribución de Bernoulli bajo ciertas operaciones o procesos al límite sobre muestreos aleatorios ( nitos o in nitos) en los cuales cada observación corresponde al resultado de un ensayo de Bernoulli. En diversas situaciones se puede estar interesado, en cambio, en experimentos en los que el número de resultados posibles de cada prueba sea más de dos, en estos casos se usa, entre otras, la distribución multinomial para el análisis de los problemas. Sin embargo, es más natural y útil trabajar con vectores aleatorios, digamos k-dimensionales, en los que cada una de sus componentes sea una variable aleatoria con distribución de Bernoulli, aportando así un total de 2k resultados posibles en cada prueba. En este trabajo, por cierto, nos restringiremos al caso k = 2, es decir, experimentos en los que cada prueba arroja uno de cuatro posibles resultados. Un vector aleatorio con estas características se dirá que tiene distribución de Bernoulli bivariada. Una extensión de las distribuciones discretas clásicas antes mencionadas a vectores aleatorios bidimensional resultar a conveniente, ya que as ser a posible analizar casos análogos pero con mayor alcance o cobertura de atributos. Piense, por ejemplo, en extraer aleatoriamente una muestra de una urna con una cantidad finita de bolas blancas y negras, en el caso bivariado podrá extender este experimento a uno en el que además cada una de las bolas está numerada, de modo que en cada prueba ser a observada una bola blanca o negra y de número par o impar. En general, esta extensión al caso bivariado permitir a clasificar a los elementos de una población mediante cuatro atributos distinguibles en lugar de solamente dos, como se acostumbra en la literatura y/o en cursos introductorios de probabilidad. Desde luego que lo anterior podrá ser ampliado a un más al caso de vectores aleatorios k-dimensionales, pero como la idea básica desarrollada en el caso bivariado ser a esencialmente la misma para el caso general multivariado (aunque esto aumentar a substancialmente la complejidad y longitud de las fórmulas involucradas) este caso ser a omitido. En esta tesis se demuestra que es posible generar de manera natural una familia de distribuciones bivariadas discretas a partir de experimentos de Bernoulli bivariados, procediendo de manera análoga al caso univariado. Más precisamente, de la teoría de probabilidad se sabe que, en el caso univariado, la distribución binomial surge de un muestreo aleatorio finito en el que cada observación corresponde a un experimento de Bernoulli; la hipergeométrica surge de forma similar a la binomial salvo que se trata de un muestreo aleatorio sin reemplazo extraído desde una población finita; las distribuciones geométrica y binomial negativa surgen de una sucesión infinita de experimentos de Bernoulli; la distribución de Poisson es obtenida de un experimento binomial en el que el muestreo es muy grande (tiende a in nito). Para el caso bivariado, se muestra que las versiones análogas a las distribuciones binomial, de Poisson, hipergeométrica, geométrica y binomial negativa son originadas de manera similar a partir de la distribución de Bernoulli bivariada. En el sentido de convergencia, como es bien sabido, la distribución de Poisson es obtenida como límite desde las distribuciones binomial y binomial negativa, así mismo, la distribución binomial es límite de la distribución hipergeométrica y, finalmente, la distribución normal es límite de las distribuciones binomial y de Poisson.