Espacios moduli de haces vectoriales y parejas de tipo (n, d, k)

Abstract

RESUMEN: M. Atiyah en su libro K-Theory, ver [Ati67], desarrolla la teoría de haces vectoriales complejos sobre espacios topológicos arbitrarios. Si consideramos la categoría de variedades complejas entonces se desarrolla la teoría de haces vectoriales holomorfos y si consideramos la categoría de variedades algebraicas entonces se desarrolla la teoría de haces vectoriales geométricos, ver [LP97] por ejemplo. Se sabe que toda variedad compleja compacta de dimensión 1, i.e. una superficie de Riemann compacta es una variedad algebraica proyectiva, este es un teorema muy profundo que demostró Riemann, ver [Har77, App. B, 3, Teo. 3.1] o [Mir95]. Esto es, si X es una superficie de Riemann compacta entonces existe un encaje X --Pn tal que X es algebraicamente isomorfa a una curva algebraica suave en Pn. Más aún, una variedad en Pn (irreducible y el conjunto de ceros comunes de polinomios homogéneos) si es conexa, de dimensión 1 es una superficie de Riemann compacta no singular. Entonces no distinguiremos entre superficies de Riemann compactas y curvas algebraicas proyectivas suaves (conexas no singulares). Nos referiremos a estas como curvas algebraicas. Nosotros trabajaremos con haces vectoriales geométricos sobre curvas algebraicas. Trabajar en la categoría analítica o algebraica depende de las aplicaciones. En el capítulo 1 se desarrolla la teoría de haces vectoriales geométricos sobre curvas algebraicas, de forma análoga se puede desarrollar la teoría de haces holomorfos sobre sobre superficies de Riemann compactas, también introducimos la teoría de gavillas algebraicas sobre curvas y la cohomología de gavillas. En este punto se presenta un problema, a una curva algebraica X se le puede ver como: superficie de Riemann compacta Xan o curva algebraica proyectiva suave (conexa) Xalg; y podemos considerar gavillas algébricas Falg y analíticas Fan sobre X. Entonces, ¿cuál es la relación entre Falg y Fan y los grupos de cohomología Hi (Xalg;Falg) y Hi (Xan;Fan).? La respuesta la da J. P. Serre en su hermoso artículo GAGA [Ser56]. Teorema 0.1 (Serre). Sea X una variedad algebraica (o esquema) proyectiva (proyectivo) sobre C. Entonces existe una equivalencia categórica entre la categoría de gavillas coherentes analíticas en X y la categoría de gavillas coherentes algebraicas en X. Más aún, para cada gavilla coherente algebraica F en X, los morfismos naturales Hi(X;F) ! Hi(Xan;Fan); son isomorfismos para toda i.

Ver [Har77] o [Ser56].

El teorema de (Serre) se cumple en particular para curvas algebraicas, luego hay una equivalencia categórica entre gavillas coherentes analíticas y gavillas coherentes algebraicas sobre una curva algebraica. En el capítulo 1 demostraremos la equivalencia categórica entre gavillas localmenten libres y haces vectoriales geométricos sobre una curva; ya que en particular una gavilla localmente libre de rango finito es una gavilla coherente. Entonces hay una equivalencia categórica entre haces vectoriales geométricos y holomorfos en una curva. En el capitulo 2 desarrollaremos la teoría básica de espacios moduli i.e., la teoría de los espacio moduli finos y gruesos. Como mostraremos en este capítulo construir un espacio moduli no es por lo general muy complicado, por ello se relajan algunas condiciones para construir el espacio moduli grueso. En algunos casos esta solución no es su ciente para construir un espacio moduli, el ejemplo más importante quizá, es el espacio moduli de curvas algebraicas de género g, Mg; para construir este espacio moduli Mumford desarrollo la Teoría Geométrica de invariantes, GIT (por sus siglas en ingles), ver [MFK94].

Otros ejemplos importantes de espacios moduli que se han construido usando GIT son el de haces vectoriales estables de rango n y grado d sobre curvas, a veces denotado por U(n; d) y el espacio moduli de variedades abelianas.

En este capitulo daremos ejemplos importantes de espacio moduli nos que usaremos en el capítulo 3. Para continuar con el estudio de espacios moduli uno puede leer [New77]. En el capítulo 3 definimos lo que llamamos parejas de tipo (n; d; k); estas parejas son un haz vectorial con un subespacio vectorial de secciones globales. También en este capítulo daremos la definición de un haz de Higgs sobre una curva notando que estas parejas generalizan a los haces de Higgs sobre curvas. El resultado más importante de este capítulo y de este trabajo es la existencia del espacio moduli para las parejas de tipo (1; d; k), ver el Teorema 3.1 y 3.2. Veremos que la existencia del espacio moduli depende de la curva y de los haces que consideremos en la curva.