Trabajo de grado - Pregrado
Estudio de las transformadas integrales como metodo de resolución de ecuaciones diferenciales fraccionarias y sus aplicaciones
Registro en:
Universidad Tecnológica de Pereira
Repositorio Institucional Universidad Tecnológica de Pereira
Autor
Tenorio Quiñones, Javier Alexander
Institución
Resumen
En este trabajo se estudió las transformadas integrales de Laplace, Fourier y Mellin como método de
resolución de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Las técnicas implementadas tienen como bases
las definiciones dadas en 2.13, 5 y 2.2.7 mediante las cuales fue posible extender las transformadas
integrales definidas en el an´alisis cl´asicos a su versión fraccionaria. Mediante las transformadas
integrales fue posible extender problemas de condici´on inicial primeramente definidos para ordenes
de derivación e integración enteros a ordenes arbitrarios. Este hecho resulta de gran interés yá
permite obtener una perspectiva global de la evoluci´on de las soluciones hasta alcanzar los valores
dados en el análisis clásicos. In this work we studied the integral transformations of Laplace, Fourier and Mellin as a method of
solving fractional differential equations. The implemented techniques are based on the definitions
given in 2.13, 5 and 2.2.7, by which it was possible to extend the integral transformations defined
in the classical analysis to their fractional version. Through integral transformations it was possible
to extend initial condition problems initially defined for integer derivation and integration orders
to arbitrary orders. This fact is of great interest since it allows to obtain a global perspective of
the evolution of the solutions until reaching the values given in the classical analysis. Maestría Magíster en Enseñanza de las Matemáticas Índice general
1. Introducción 7
1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Marco teórico y Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Generalidades del Cálculo Fraccionario 12
2.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. El Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Función Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4. Función de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Integral y derivada Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Integral Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3. Integral de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4. Integral de Riemann-Liouville en el semieje R
+ . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5. Derivada de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5
2.2.6. Derivada de Riemann-Liouville en el semieje R
+ . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.7. Derivada de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.8. Ecuación Diferencial Ordinaria Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Transformadas de Laplace, Fourier, Mellin y su relación con el análisis
fraccionario. 47
3.0.1. Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.0.2. Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.0.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4. Aplicaciones de los operadores fraccionarios 68
4.0.1. Reacción Qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.0.2. Velocidad de Reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.0.3. Ecuaciones, ordenes y constantes de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.0.4. Ecuaciones químicas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.0.5. Tiempo de vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.0.6. Ecuaciones químicas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.0.7. Ley de la Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.0.8. Ecuación de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.0.9. Ecuación de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5. Conclusiones 83
5.1. Sugerencias y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84