La formación académica y teórica de los futuros Ingenieros y Tecnólogos que egresan de la Universidad Tecnológica de Pereira, tiene entre sus pilares básicos la fundamentación matemática, la cual busca coadyubar en la construcción de Competencias tales como: Interpretación de datos, Planteamiento de problemas, Razonamiento abstracto, El Pensamiento crítico, El descubrimiento de patrones, El trabajo colaborativo, entre otras habilidades. Este texto introductorio sobre cálculo integral se desarrolló en cuatro capítulos así: El capítulo 1: LA INTEGRAL, Aborda desde las sumas de Riemann, pasando por la definición de integral, sus propiedades y los principales métodos de integración. En el capítulo 2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL, se trabajan los principales tópicos referentes a las aplicaciones del concepto de integral definida. El capítulo 3: SISTEMA DE COORDENADAS POLARES, en el que se estudian los principales elementos de este sistema bidimensional de ubicación de puntos. en el capítulo 4, se estudian los principales aspectos referentes a las SUCESIONES Y SERIES. En cada capítulo se presentan algunas demostraciones de Teoremas, cuando así se requieran, en otras ocasiones simplemente se enuncian las propiedades de los objetos matemáticos a estudiar; de igual forma, se presentan ejemplos y se dejan ejercicios para ser trabajados por los estudiantes. La herramienta tecnológica de libre acceso GeoGebra se usa a lo largo del texto como ayuda visual e interactiva para la comprensión y ampliación de los temas en cada capítulo. Los anexos ofrecen las respuestas a los ejercicios de numero impar. Esperamos que este aporte sea beneficioso en la construcción de conocimiento para los futuros profesionales que egresan de nuestra universidad. Los AutoresContenido Introducción .........................................................................................................................................5 CAPÍTULO UNO La Integral............................................................................................................................................9 1.1. Sumas de Riemann...................................................................................................................9 1.1.1. Sumatorias y Notación Σ................................................................................................9 1.1.2. Propiedades de la sumatoria.........................................................................................10 1.1.3. La Suma Geométrica....................................................................................................12 1.1.4. La Suma Telescópica....................................................................................................14 1.1.5. Partición Sobre un Intervalo Cerrado [a,b]..................................................................15 1.1.6. Área Bajo la Curva.......................................................................................................18 1.2. Integral Definida ....................................................................................................................23 1.2.1. Propiedades de la Integral Definida .............................................................................27 1.3. Integral Indefinida..................................................................................................................33 1.4. Métodos de Integración .........................................................................................................38 1.4.1. Integración por Sustitución ..........................................................................................38 1.4.2. Integración por Partes...................................................................................................41 1.4.3. Fracciones Parciales.....................................................................................................44 1.4.4. Integración de Funciones Irracionales..........................................................................50 1.4.5. Integración de Funciones Trigonométricas..................................................................52 1.4.6. Sustitución Trigonomética............................................................................................64 1.4.7. Integrales que se Llevan a Racionales..........................................................................70 1.4.8. Integral Racional que Depende de x y..........................................................................77 1.4.9. Integral de Algunas Funciones Irracionales.................................................................82 CAPÍTULO DOS Aplicaciones de la Integral.................................................................................................................89 2.1. Cálculo de Áreas....................................................................................................................90 2.1.1. Área Bajo una Curva ....................................................................................................90 2.1.2. Área Entre Dos Curvas.................................................................................................94 2.2. Aplicaciones de la integral definida a la ingeniería. ..............................................................97 2.3. Cálculo de Volúmenes..........................................................................................................100 2.3.1. Volúmenes de Sólidos de Sección Conocida..............................................................100 2.3.2. Volúmenes de Sólidos de Revolución ........................................................................105 2.4. Longitud de Arco ................................................................................................................. 119 2.5. Área de una Superficie de Revolución.................................................................................124 2.6. Integrales Impropias ............................................................................................................128 2.6.1. Límite Superior e Inferior Infinitos............................................................................128 2.1.2. Ambos límites de Integración son Infinitos................................................................130 2.6.3. Otros Casos de Integrales Impropias..........................................................................133 CAPÍTULO TRES Sistema de coordenadas polares.......................................................................................................143 3.1. Introducción.........................................................................................................................143 3.2. Relación entre las coordenadas rectangulares y polares......................................................146 3.3. Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares....................................................................147 3.4. Área en coordenadas polares. ...................................................................................................161 CAPÍTULO CUATRO Sucesiones y Series..........................................................................................................................169 4.1. Intreducción .........................................................................................................................169 4.2. Sucesiones infinitas..............................................................................................................170 4.2.1. Límite de una sucesión...............................................................................................171 4.3. Series numéricas..................................................................................................................173 4.3.1. Conceptos fundamentales...........................................................................................173 4.3.2. Serie geométrica.........................................................................................................177 4.3.3. Condición necesaria para la convergencia de una serie. ............................................178 4.3.4. Criterios suficientes de convergencia para seires.......................................................181 4.4. Series de potencias...............................................................................................................191 4.4.1. Convergencia de una serie de potencias.....................................................................191 4.4.2. Radio e intervalo de convergencia de series de potencias..........................................192 4.4.3. Representación de funciones en series de potencias..................................................195 4.4.4. Expansión de funciones con serie de Taylor y Mclaurin............................................197 Apéndice A.......................................................................................................................................207 Respuestas a las preguntas impares .................................................................................................207 Bibliografía ...................................................................................................................................... 211