Quantitative large population approximations for stochastic models with interaction or varying environment

Abstract

This thesis focuses on the study of stochastic population models composed of individuals interacting between them or with the environment. In a first part, we consider cross-diffusion systems for two species. We develop a duality approach which allows to obtain quantitative stability estimates. We also introduce a stochastic individual-based model on a discrete space. The individuals follow random walks and they are sensitives to the number of individuals of the other species on the same site, with a linear dependence in their rates of motion. We establish the convergence in law of the stochastic model towards the cross-diffusion systems when the number of individuals per site is greater than the square of the number of sites, assuming small initial conditions. In a second part, we obtain an explicit rate of convergence for some systems of mean-field interacting diffusions with logistic binary branching towards the solutions of non-local self-diffusion systems with logistic mass growth, that describe their large population approximations. The proof relies on a coupling argument for binary branching diffusions based on optimal transport, which allows us to approximate the trajectory of the interacting branching population by a system of independent particles with suitably distributed random space-time births. Finally, in a third part, we consider the reduced tree associated with birth and death processes in varying environments that gives the genealogical structure of the population. We describe geometrically this object by using the lookdown construction introduced by Kurtz and Rodrigues. By introducing a suitable coupling and distance, we approximate the genealogy in the large population regime.

Esta tesis se concentra en el estudio de modelos estocásticos de poblaciones compuestas de individuos interactuando entre ellos o con su medio. En una primera parte consideramos sistemas de difusión cruzada para dos especies. Desarrollamos un enfoque de dualidad que permite obtener estimaciones cuantitativas de estabilidad. También introducimos un modelo estocástico basado en individuos sobre un espacio discreto. Los individuos siguen marchas aleatorias y son sensibles al número de individuos de la otra especie en el mismo sitio, con una dependencia lineal en sus tasas de movimiento. Establecimos la convergencia en ley del modelo estocástico hacia los sistemas de difusión cruzada cuando el número de individuos por sitio es más grande que el cuadrado del número de sitios, suponiendo condiciones iniciales pequeñas. En una segunda parte obtenemos una tasa de convergencia explícita para ciertos sistemas de difusiones con interacción de tipo campo medio con ramificación binaria logística hacia las soluciones de sistemas de auto-difusión no local con crecimiento de masa logístico, que describen sus aproximaciones de grandes poblaciones. La demostración se apoya en un argumento de acoplamiento para difusiones con ramificación binaria basado en transporte óptimo, el cual nos permite aproximar la trayectoria de la población ramificante e interactuante por un sistema de partículas independientes con nacimientos espacio-temporales aleatorios y convenientemente distribuidos. Finalmente, en una tercera parte, consideramos el árbol reducido asociado a procesos de nacimiento y muerte en medios variables que da la estructura genealógica de la población. Describimos geométricamente este objeto utilizando la construcción lookdown introducida por Kurtz y Rodrigues. Introduciendo un acoplamiento y una distancia adaptados, aproximamos la genealogía en grandes poblaciones.