Numerical analysis of dual-mixed formulations of nonlinear fluid flow problems posed on nonstandard Banach spaces

Abstract

This thesis aims at the formulation, analysis and implementation of new mixed finite element methods for a set of partial differential equations arising in the context of fluid mechanics. More precisely, we extend the study of a Banach spaces–based mixed formulation recently introduced for the Navier–Stokes problem allowing conservation of momentum, and first develop an a posteriori error analysis for the corresponding Galerkin scheme. By extending standard techniques commonly used on Hilbert spaces to the case of Banach spaces, such us local estimates, and suitable Helmholtz decompositions, we prove reliability of the estimator, whereas inverse inequalities, the localization technique based on bubble functions, among other tools, are employed to prove efficiency. Next, we present a mixed finite element method for a class of steady-state natural convection models describing the behavior of non-isothermal incompress ible fluids subject to a heat source. Our approach is based on the introduction of a modified pseudostress tensor depending on the pressure, and the diffusive and convective terms of the Navier-Stokes equations for the fluid and a vector unknown involving the temperature, its gradient and the velocity. The introduction of these further unknowns lead to a mixed formulation where the aforementioned pseudostress tensor and vector unknown, together with the velocity and the temperature, are the main unknowns of the system. For both, the continuous and discrete problems, we make use of the Banach–Nečas–Babuška and Banach’s fixed point theorems to prove unique solvability. Using the techniques developed for the a posteriori error analysis of the momentum conservative formulation for the Navier–Stokes problem, we complement the study of the aforementioned mixed finite element scheme for the natural convection model and derive a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator for the corresponding Galerkin scheme. Finally, we study a mixed formulation for the unsteady Brinkman–Forchheimer equations. Our approach is based on the introduction of the velocity gradient and the aforementioned pseudostress tensor, as further unknowns. As a consequence, we obtain a mixed formulation where the velocity together with its gradient and the pseudostress tensor, are the main unknowns of the system. We establish existence and uniqueness of a solution to the weak formulation in a Banach space setting, employing classical results on nonlinear monotone operators. We then present the well-posedness and error analysis for a semidiscrete continuous-in-time scheme and a fully discrete finite element approximation. For all the problems described above, several numerical experiments are provided illustrating the good performance of the proposed methods and confirming the theoretical results.

Esta tesis tiene como objetivo la formulación, análisis e implementación de nuevos métodos de elementos finitos mixtos para un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que surgen en el contexto de la mecánica de fluidos. Más precisamente, ampliamos el estudio de una formulación mixta basada en espacios de Banach introducida recientemente para el problema de Navier–Stokes que permite la conservación de momentum, y primero, desarrollar un análisis de error a posteriori para el esquema de Galerkin correspondiente. Extendendiendo las técnicas estándar comúnmente utilizadas en espacios Hilbert al caso de espacios Banach, como estimaciones locales y descomposiciones de Helmholtz adecuadas, demostramos confiabilidad del estimador, mientras que, desigualdades inversas, la técnica de localización basada en funciones burbuja, entre otras herramientas, se emplean para demostrar la eficiencia. Después, presentamos un método de elementos finitos mixto para un modelo de convección natural en estado estacionario que describe el comportamiento de fluidos incompresibles no isotérmicos sujetos a una fuente de calor. Nuestro enfoque se basa en la introducción de un tensor de pseudoesfuerzo modificado que depende de la presión y los términos difusivo y convectivo de las ecuaciones de Navier-Stokes para el fluido y un vector incógnita que involucra la temperatura, su gradiente y la velocidad. La introducción de estas nuevas incógnitas conduce a una formulación mixta donde el tensor de pseudoesfuerzo y el vector incógnita mencionados anteriormente, junto con la velocidad y la temperatura, son las principales incógnitas del sistema. Tanto para el problema continuo como para el discreto, utilizamos los teoremas de Banach–Nečas–Babuška y de punto fijo de Banach para demostrar unicidad de solución. Usando las técnicas desarrolladas para el análisis de error a posteriori para la formulación que conserva momentum del problema de Navier–Stokes, complementamos el estudio del ya mencionado esquema de elementos finitos mixto para el modelo de convección natural y obtenemos un estimador de error a posteriori basada en residuos confiable y eficiente para el esquema de Galerkin correspondiente. Finalmente, presentamos una formulación mixta para las ecuaciones no estacionarias de Brinkman–Forchheimer. Nuestro enfoque se basa en la introducción del gradiente de velocidad y del ya mencionado tensor de pseudoesfuerzo como incógnitas adicionales. Como consecuencia, obtenemos una formulación mixta donde la velocidad junto con su gradiente y el tensor de pseudoesfuerzo, son las principales incógnitas del sistema. Establecemos la existencia y unicidad de solución de la formulación débil en espacios Banach, empleando resultados clásicos en operadores monótonos no lineales. A continuación, presentamos el buen planteamiento y el análisis de error para el esquema semidiscreto continuo en tiempo y una aproximación de elementos finitos completamente discreta. Para todos los problemas descritos anteriormente, se proporcionan varios experimentos numéricos que ilustran el buen desempeño de los métodos propuestos, y que confirman los resultados teóricos.