Some homotopical aspects of de Rham theory

Abstract

El estudio de las propiedades topológicas de las variedades suaves desde el punto de vista de formas diferenciales y de las ecuaciones que dichas formas satisfacen es conocido como teoría de de-Rham. Invariantes topológicos de variedades tales como los grupos de cohomología y las clases características se pueden describir naturalmente en el lenguaje de de-Rham. Esta tesis trata con invariantes de tipo categórico que también pueden ser descritos en términos de formas diferenciales. Adoptamos el punto de vista de la teoría de representaciones, donde se estudian grupos mediante sus acciones lineales en espacios vectoriales. En topología, las correspondientes acciones lineales son llamadas sistemas locales infinitos, los cuales son el objeto de estudio de esta tesis. Describimos cómo varios aspectos de la teoría de de-Rham se pueden categorificar, lo que conlleva al estudio de sistemas locales. Una nueva característica que emerge en este contexto es la necesidad de reemplazar la noción de asociatividad estricta por una noción de asociatividad compatible con los métodos de teoría de homotopía. Esta nueva noción de asociatividad está codificada en las estructuras A-infinito, que son estructuras algebraicas donde la asociatividad solo se cumple salvo una secuencia infinita de homotopías.

The study of topological properties of manifolds from the point of view differential forms and the equations they satisfy is known as de Rham theory. Topological invariants of manifolds such as cohomology groups and characteristic classes can be naturally described in de Rham's language. This thesis deals with more categorical invariants of manifolds that can also be studied via differential forms. We take the point of view of representation theory, where one studies groups via their linear actions on vector spaces. In topology, the corresponding linear actions are called infinity local systems, and are the subject of this thesis. We describe how various aspects of de Rham theory can be categorified to the study of these representations of spaces. One new aspect that emerges is the need to replace the strict notion of associativity by a version of associativity which is more compatible with the methods of homotopy theory. This is the notion of A-infinity structures, which are algebraic structures where associativity only holds up to an infinite sequence of homotopies.