Some adjunctions associated with extensions and restrictions of ideals in the context of commutative rings

Abstract

Given a commutative ring R and S one of its ideals, the function I -- and gt; (I : S) that transforms ideals of R into ideals of R, is right adjoint of the function I -- and gt; IS. We define the S−maximal ideals of R as those ideals J of R such that (J : S) = J. If the ring S is pseudo-regular, then the set of S−maximal ideals of R is a complete lattice, isomorphic to the lattice of the ideals of S. In particular, the annihilator of S in R is the minimum of the S−maximal ideals of R. So the lattice structure of S−maximal ideals of R does not depend on the ring R.On the other hand, the ideals of S can be extended to ideals of R and the ideals of R can be restricted to ideals of S. These two processes are not adjoint to each other, but if we restrict to appropriated collections of ideals we can obtain adjunctions.

Dados un anillo conmutativo R y S uno de sus ideales, la función I -- and gt; (I : S), que transforma ideales de R en ideales de R es adjunta a derecha de la función I -- and gt; IS. Se definen los ideales S−maximales de R como aquellos ideales J de R tales que (J : S) = J. Si el anillo S es seudo-regular, entoncesel conjunto de ideales S−maximales de R es un retículo completo, isomorfo al retículo de los ideales de S. En particular, el anulador de S en R es el mínimo de los ideales S−maximales de R. La estructura de retículo de losideales S−maximales de R no depende entonces del anillo R.Por otro lado, los ideales de S se pueden extender a ideales de R y los ideales de R se pueden restringir a ideales de S. Estos dos procesos no son adjuntos entre sí, pero si se restringen a colecciones apropiadas de ideales s´ı se obtienensendas adjunciones.