Métodos numéricos y analisis para ecuaciónes parabólicas degeneradas y sistemas de reacción-difusión

Abstract

Esta tesis trata diferentes aspectos en el análisis numérico y matemático de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales posiblemente degeneradas. Bajo condiciones particulares, las soluciones de este tipo de ecuaciones en el contexto de las aplicaciones pertinentes, exhiben gradientes marcados, e incluso en el caso degenerado, se presentan frentes afilados y discontinuidades. Esta característica requiere una concentración del esfuerzo coinputacional en las regiones del dominio en que se encuentran fuertes variaciones de la solución. Para lograr tal objetivo, se introducen métodos apropiados de volúmenes finitos y esquemas adaptativos (le multiresolución para sistemas de reacción-difusión posiblemente degenerados en una, dos y tres dimensiones espaciales, enfocando el estudio en procesos de sedimentación provenientes de la industria minera, problemas de flujo vehicular, sistemas de reacción-difusión que modelan dinámicas de población, procesos de combustión, propagación cardiaca, formación de patrones y quimiotaxis en biología matemática. Eii este último punto, un resultado novedoso es constituido por la existencia y regularidad H6lder de soluciones débiles de un nuevo modelo de quimiotaxis con difusión no lineal. Además, para las ecuaciones del bidominio en electrocardiología, se ha formulado un esquema implícito de volúmenes finitos sobre mallas no estructuradas, y se ha probado su convergencia a la correspondiente solución débil. Con el objeto de obtener sistemas lo suficientemente esparsos y a la misma vez mantener la tasa de convergencia provista por los métodos de referencia, se propone la elección de una estrategia óptima para descartar información no relevante en el proceso de compresión de datos inediante multiresolución. Varios ejemplos numéricos confirman la eficiencia, buen rendimiento y precisión de los esquemas propuestos, y además facilitan una mejor comprensión sobre el comportamiento cualitativo de los modelos tratados.