In this work we present a study about integers numbers, divisibility, numbering systems and congruence, that bases the work theme, "The Proof by Nine". The Proof by Nine is a method of verifying basic mathematical operations with natural numbers, but has fallen into disuse actually. We will show how this method is applied, in which mathematical results it is based, when and why it can fail. Finally, we will present estimates of failure of the proof by nine methodNeste trabalho apresentamos um estudo sobre números inteiros, divisibilidade, sistemas de numeração e congruência, que fundamentam o tema deste trabalho, que é a prova dos noves. A prova dos noves é um método de verificação de operações matemáticas básicas com números naturais, mas que caiu em desuso atualmente. Mostraremos como se aplica a prova dos noves, em quais resultados matemáticos ela se baseia, quando e porquê a prova dos noves pode falhar. Por fim, apresentaremos estimativas de falhas da prova dos noves