Monografia
Introdução aos Métodos Variacionais
Registro en:
CARVALHO, Thafne Sirqueira. Introdução aos Métodos Variacionais. 50f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Tocantins, Araguaína, 2021.
Autor
CARVALHO, Thafne Sirqueira
Institución
Resumen
This monograph presents an introduction to Variational Methods, which today form an important
method that is applied in the field of differential equations. Thus, we sought to answer the
following guiding question: how to solve ordinary differential equations (ode) using Variational
Methods? This research has as main objective to determine necessary and sufficient conditions
for certain ordinary differential equations to have a solution via Variational Methods. For this,
initially, a brief review of measure and Lebesgue spaces was made to generalize the concept
of Riemann’s integral; from this, the concept of the weak derivative was defined, followed by
the well-known Sobolev spaces. Thus, in these spaces, what we call a weak solution of the
functional associated with the given equation was established, to later solve the Edo by the
Variational Methods. As for the methodology used in this work, we have exploratory and bibliographical
research, and a qualitative approach. As a result of this study, we highlight the use of
the Mountain Pass Theorem, which provides some functional conditions, including the Palais
Smale condition, under which the functional has a critical point. Thus, Variational Methods are
concerned with finding critical functional points associated with some differential equation. Esta monografia apresenta uma introdução aos Métodos Variacionais, que formam, hoje em dia,
um método importante que é aplicado na área de equações diferenciais. Assim, procurou-se
responder a seguinte questão norteadora: como resolver equações diferenciais ordinárias (edo)
utilizando os Métodos Variacionais? Esta pesquisa tem como objetivo principal determinar condições
necessárias e suficientes para que certas equações diferenciais ordinárias possuam solução
via Métodos Variacionais. Para isso, inicialmente, fez-se uma breve revisão sobre medida
e os espaços de Lebesgue para generalizar o conceito de integral de Riemann; a partir disso,
definiram-se o conceito de derivada fraca e, em seguida, os conhecidos espaços de Sobolev.
Dessa forma, nesses espaços, estabeleceu-se o que chamamos de solução fraca do funcional associado
à equação dada, para, mais tarde, resolver a Edo pelos Métodos Variacionais. Quanto à
metodologia utilizada nesse trabalho, temos a pesquisa exploratória e bibliográfica, e a abordagem
qualitativa. Como resultados desse estudo, destaca-se a utilização do Teorema do Passo da
Montanha, que fornece algumas condições no funcional, entre elas a condição de Palais Smale,
sob as quais o funcional tem ponto crítico. Com isso, os Métodos Variacionais se preocupam
em encontrar pontos críticos de funcionais associados à alguma equação diferencial.