This paper aims to address a brief concept of Metric Spaces in order to present and demonstrate Banach’s Fixed-Point Theorem in Euclidean Space-ndimensional Rn. In addition, display some of its applications, especially in the demonstration of Existence and Uniqueness of Solutions of Ordinary Differential Equations. For this, we had to first study essential concepts such as the Topological Aspects of Space Rn, Metric Spaces and Spaces Complete Metrics, in order to define Banach Spaces and then to enunciate, demonstrate and show some applications of the Banach’s Fixed-Point Theorem for contractions which tells us that if Rn is a complete metric space, every contraction f : Rn ! Rn has a single fixed point in Rn, that is, there exists a unique x 2 Rn such that f(x) = x.Este trabalho tem por objetivo principal abordar um breve conceito de Espaços Métricos, a fim de apresentarmos e demonstrarmos o Teorema do Ponto Fixo de Banach no Espaço Euclidiano n-dimensional Rn. Além disso, exibir algumas de suas aplicações, em especial uma demonstração de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais Ordinárias. Para isto, tivemos a necessidade de estudarmos, inicialmente, conceitos essenciais tais como o Aspectos Topológico do Espaço Rn, Espaços Métricos e Espaços Métricos Completos, a fim de definirmos Espaços de Banach e em seguida enunciarmos, demonstrarmos e mostrar algumas aplicações do Teorema do Ponto Fixo de Banach para contrações a qual nos diz que se Rn é um espaço métrico completo, toda contração f : Rn ! Rn possui um único ponto fixo em Rn, isto é, existe um único x 2 Rn tal que f(x) = x.