-Estudamos inicialmente curvas algébricas planas, isto é, o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem uma equação do tipo f(x,y)=0, onde f é um polinômio não constante. Uma das questões abordadas foi analisar se a equação f=0 de uma curva está bem determinada. A partir de tal questão viu-se a necessidade de definir curvas de uma maneira mais cuidadosa: Uma curva algébrica plana afim é uma classe de equivalência de polinômios não constantes f(X,Y) com coeficientes num corpo K, módulo a relação que identifica dois tais polinômios se um é múltiplo do outro por alguma constante não nula. Um dos nossos objetivos foi determinar o conjunto das soluções de um sistema de duas equações em duas variáveis. Na linguagem geométrica, o resultado inicialmente estudado foi o seguinte: A interseção de duas curvas algébricas planas sem componentes irredutíveis em comum é finita. Dada uma curva f e um ponto P de f provamos que existe um inteiro m=m_P(f) positivo tal que toda reta passando por P intercepta a curva f em pelo menos m pontos e que existem no máximo m retas e no mínimo uma reta interceptando f em mais que m pontos. Tal número m é a multiplicidade de interseção de f em P. Convencionamos que se P não pertence a curva então sua multiplicidade de interseção é 0. Dizemos que um ponto P de uma curva f é liso, simples ou não singular se m_P(f)=1 . Caso contrário dizemos que P é um ponto singular. Vimos que o conjunto dos pontos singulares de uma curva f é finito. Ainda na busca de nosso objetivo tivemos que começar a trabalhar com o plano projetivo. Observando que duas retas paralelas não se intersectam a “distância finita”, bem como a hipérbole de equação xy=1 não intersecta os eixos coordenados vê-se a necessidade de trabalhar em um ambiente no qual os pontos que estão “faltando” apareçam. O ambiente que precisamos é o plano projetivo: O Plano projetivo é o conjunto das retas no espaço tridimensional passando pela origem. Passamos a trabalhar com as curvas planas projetivas, a saber: Uma curva plana projetiva é uma classe de equivalência de polinômios homogêneos (todos os monômios têm o mesmo grau) não constantes, F(X,Y,Z) no anel dos polinômios nas variáveis X, Y e Z com coeficientes em K, módulo a relação que identifica dois tais polinômios F, G, se um for múltiplo constante do outro. As curvas algébricas planas, inicialmente estudadas, podem ser consideradas como a parte que se acha a “distância finita” de uma curva projetiva. Além disso, vimos como estender os conceitos estudados no caso de curvas planas afins, como por exemplo a multiplicidade de interseção, para curvas projetivas, assim como os conceitos de ponto singulares e não singulares. Estudamos a relação entre curvas planas afins e curvas planas projetivas. No plano projetivo podemos então caracterizar totalmente a interseção de duas curvas por meio do Teorema de Bézout: Se F, G são duas curvas planas projetivas sem componentes irredutíveis em comum, de grau m e n, então o número de pontos na interseção de F com G , contados com multiplicidade, é igual a mn. Na prova deste teorema usamos essencialmente a resultante de dois polinômios. Por esta razão dedicamos boa parte de nosso tempo estudando as propriedades da resultante de dois polinômios. A resultante é calculada levando a partir do determinante de uma matriz que leva em consideração os coeficientes dos polinômios e os seus graus. Sob certas condições podemos afirmar que: dois polinômios têm fator irredutível em comum se e somente se a resultante de tais polinômios se anula. Além disso, sob certas condições podemos provar que o grau da resultante de dois polinômios é o produto do grau de tais polinômios. Como se percebe no enunciado do Teorema de Bézout é necessário sabermos calcular as multiplicidade de interseção de duas curvas. A parte final de nosso trabalho foi por esta razão dedicada ao estudo das propriedades do índice de interseção. Nesta etapa estudamos o índice de interseção de duas formas distintas.