Dissertação
Métodos de elementos finitos híbridos aplicados na solução de equações transientes de reação-difusão
Autor
Silva, Emerson Joarez da
Institución
Resumen
Systems of reaction-diffusion partial differential equations are characterized by the ability to produce a wide variety of complex spatial patterns. The models are often applied in different areas of knowledge such as chemistry, physics, biology, among others. Due to the nonlinearity of the problem present in most applications, reaction-diffusion models have often been studied in numerical and computational terms. In this context, the present work aims at the application of hybrid finite element methods for the spatial approximation combined with SBDF (Semi-Implicit Backward Differentiation Formulas) methods for the time discretization to build numerical approximations for reaction-diffusion problems. Hybrid methods are characterized by imposing continuity through the use of a Lagrange multiplier. In this approach the treatment of high-order numerical approximations becomes less complex and computationally efficient. SBDF methods, on the other hand, are highorder alternatives for time integration and allow treating the non-linear reaction term explicitly. Numerical experiments with the proposed formulation were carried out to show the optimal convergence rates in space and time. In addition, simulations of cardiac electrophysiology models and of the Gray-Scott model were performed satisfactorily with the proposed methodology. Sistemas de equações diferenciais parciais de reação-difusão são caracterizados pela capacidade de produzir uma grande variedade de padrões espaciais complexos. Além disso, os modelos são frequentemente aplicados em diferentes áreas do conhecimento, tais como química, física, biologia, entre outras. Devido à não linearidade do problema presente na maioria das aplicações, os modelos de reação-difusão têm sido frequentemente estudados em termos numéricos e computacionais. Neste contexto, o presente trabalho visa a aplicação de métodos híbridos de elementos finitos para aproximação espacial em conjunto com os métodos SBDF (Semi-Implicit Backward Differentiation Formulas) para discretização temporal com o intuito de construir aproximações numéricas para problemas de reação-difusão. Os métodos híbridos caracterizam-se pela imposição da continuidade através do multiplicador de Lagrange e com isso, o tratamento de aproximações numéricas de alta ordem se tornam menos complexas e são computacionalmente eficientes. Já os métodos SBDF apresentam alternativas de alta ordem para a integração temporal e permitem tratar o termo de reação não-linear de forma explícita. Experimentos numéricos com a formulação proposta foram realizados comprovando a taxa de convergência ótima no espaço e no tempo. Além disso, simulações em modelos de eletrofisiologia cardíaca e no modelo de Gray-Scott foram realizadas de forma satisfatória com a metodologia proposta CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior