Durante centenas de anos vários matemáticos se debruçaram sobre o problema de obter o postulado 5 de Euclides (ou postulado das paralelas) a partir dos demais. János Bolyai (1802-1860) e Nikolai Lobachevsky (1792-1856) descobriram, indepen- dentemente, uma nova geometria, conhecida por Geometria Hiperbólica. Nessa geometria, o postulado 5 de Euclides é falso. De fato, dados uma “reta” e um ponto fora dessa, existem infinitas “retas” passando por esse ponto que são paralelas à reta dada. Estudaremos como se deu o surgimento dessa geometria, bem como algumas propriedades específicas. Em particular, daremos atenção a certas curvas especiais (geodésicas) e sugestões de como aplicar esse conhecimento no ensino médioFor hundreds of years mathematicians had problem of obtaining Euclid's postulate 5 (or postulate of parallels) to from the others. János Bolyai (1802-1860) and Nikolai Lobachevsky (1792-1856) discovered, independently, a new geometry, known as Hyperbolic Geometry. In this geometry Euclid's postulate 5 is false. In fact, given a “straight” and a point outside that, there are infinite “straight lines” passing through this point that are parallel to the given line. We will study how the appearance of this geometry occurred, as well as some properties. In particular, we will give attention to certain special (geodesic) curves and suggestions on how to apply this knowledge in high school.