Análisis del algoritmo de descenso de gradiente estocástico de Langevin y aplicación en el problema de tomografía sísmica pasiva

Abstract

En el siguiente trabajo se presenta el algoritmo de Descenso de Gradiente Estocástico de Langevin (SGLD, sigla por su nombre en inglés), algoritmo de minimización basado en los algoritmos de descenso de gradiente estocástico con la característica de añadir ruido Gaussiano exógeno con el fin de esquivar óptimos locales. Se recopila y desarrolla el marco teórico necesario para justificar el uso del algoritmo SGLD para el problema de riesgo esperado empírico en una base de datos finita, basado en los resultados principales de Borkar y Mitter, 1999 y Raginsky y col., 2017, en busca de las condiciones y parámetros que permitan la convergencia del algoritmo hacia el punto óptimo de la función objetivo del problema. Se muestra que el marco de condiciones y parámetros propuestos no asegura convergencia hacia el óptimo, pero, gracias al comportamiento asíntótico del error medio encontrado en la Sección 4.6, es posible controlar el sesgo del valor de la función objetivo encontrada con el algoritmo SGLD. En la segunda parte de este trabajo, se presenta el problema de tomografía sísmica pasiva y la formulación y resolución presentada en Delplancke y col., 2020. Junto con los resultados de Delplancke y col., 2023, se muestra cómo el problema de tomografía puede enmarcarse en un problema de riesgo esperado empírico con el fin de usar la teoría mostrada previamente y encontrar solución mediante el algoritmo SGLD. Se muestran las diferencias entre los rendimientos del algoritmo SGLD y el algoritmo de descenso de gradiente estocástico usual para la tomografía. Entre estas diferencias se puede destacar la mejora en resolución y detalles para los campos de velocidades de ondas sísmicas estimados mediante el algoritmo SGLD. Finalmente se discute la elección de los parámetros y bajo qué contexto el uso del algoritmo SGLD es más beneficioso que el método de gradiente usual.