Sobre la prueba de la conjetura de Kemnitz

Abstract

En este trabajo realizamos una monografía sobre la Prueba de la Conjetura de Kemnitz, basándonos en el artículo On Kemnitz'conjeture concerning lattice-points in the plane. Ramanujan J., 13:333 337, 2007 de Christian Reiher. Esta conjetura surgió del problema unidimensional que demostraron, en 1961, P. Erdos, A. Ginzburg y A. Ziv [14]; el cual dice que: \toda secuencia de (2n - 1) enteros, contiene una subsecuencia de tamaño n cuya suma de elementos es divisible entre n. Este resultado se ha demostrado por diversos caminos, utilizando herramientas combinatorias y algebraicas. Además, este problema fue extendido a varias dimensiones; por ejemplo, el caso bidimensional que consiste en determinar el menor entero s(n; 2) tal que cualquier secuencia con s elementos de Z subindice (n) Z subindice(n) contiene una subsecuencia de tamaño n, cuya suma de elementos es congruente con cero módulo n. En el año de 1983, A. Kemnitz [24] conjeturó que s(n; 2) = 4n-3; para todo n. Esta conjetura fue un problema abierto durante 20 años hasta que, en Octubre de 2003, C. Reiher en [37] probó que es verdadera. Se inicia este trabajo con una amplia revisión bibliográfica de algunas demostraciones del Teorema de P. Erdos, A. Ginzburg y A. Ziv, luego estudiamos algunos casos particulares del valor de la función s(n; 2) en el cual comprobamos que en efecto para estos casos la conjetura es verdadera; más adelante hacemos una revisión de ciertas cotas importantes que están muy cercanas al valor de dicha función pues los argumentos usados para las demostraciones de las mismas están relacionados con las pruebas del Teorema de P. Erdos, A. Ginzburg y A. Ziv y la prueba de la Conjetura de Kemnitz (hoy Teorema de Reiher) y por último reconstruimos en detalle la prueba de la Conjetura de Kemnitz, dada por C. Rehier en el artículo que mencionamos antes. El estudio de los problemas de suma cero es relevante ya que es un tema de frontera en la investigación actual, tiene relación con otras áreas de la Teoría de Números Aditiva como los conjuntos suma y los cubrimientos de enteros; además tiene aplicaciones en la Teoría de Ramsey, en particular en el estudio sobre los números Ramsey de suma cero y también tienen relación con la Teoría de Códigos.