Trabajo de grado - Pregrado
Una demostración elemental del teorema de los números primos
Autor
Flores Luna, Larry Antonio
Institución
Resumen
Given a real positive number x, the quantity of prime numbers less than or equal to x is denoted by π(x). In this work, we will present an elementary proof of famous prime number theorem, which asserts that the quantity π(x) is asymptotically equivalent to the quotient x/ ln x as x → ∞. To do this demonstration, we will use elementary techniques of analytic number theory to demonstrate Selberg’s asymptotic formula, from which we will derive the elementary proof of the prime number theorem. Introducción 1. Algunas funciones aritméticas y el producto de Dirichlet 1.1. La función de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Producto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Inversa de Dirichlet y la fórmula de inversión de Möbius . . . . . . . 8 1.4. La Función de Von Mangoldt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Sumas parciales de funciones aritméticas 2.1. La notación O grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Fórmula de sumación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Sumas parciales de un producto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Sumas parciales que involucran a la función de Von Mangoldt; la función de Chebyshev . . . 21 3. El teorema de los números primos 3.1. El teorema de los números primos y una forma equivalente con la
función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. La fórmula asintótica de Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Estrategia de la demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Demostración del teorema de los números primos . . . . . . . . . . . 33 3.4.1. La función S(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.2. Fórmulas asintóticas y desigualdades que involucran a la función
S(y) . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.3. Reescalamiento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.4. Demostración final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bibliografía En este trabajo presentamos una demostración elemental del conocido teorema de los números primos, que establece que la cantidad de números primos que son menores o iguales que x es asintóticamente igual al cociente x/ln x cuando x tiende a infinito. Para lograr tal demostración, haremos uso de técnicas elementales de la teoría analítica de números para probar la llamada identidad de Selberg, a partir de la cual se derivará dicha demostración elemental. Pregrado Matemático(a) Monografías