masterThesis
Graduações na álgebra de Grassmann pelo grupo cíclico infinito: identidades e PI-equivalência
Registro en:
MELO, Tamara Tavares de. Graduações na álgebra de Grassmann pelo grupo cíclico infinito: identidades e PI-equivalência. Orientador: Alan de Araújo Guimarães. 2023. 61f. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística) - Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2023.
Autor
Melo, Tamara Tavares de
Resumen
Let E be the infinite dimensional Grassmann algebra over a field F of characteristic zero
and Z be the infinite cyclic group. Throughout the development of Kemer’s Theory, the
algebra E plays a crucial role. In recent years, the abelian gradings on E and the respective
graded identities have been studied in several articles, and it is still a very fertile topic
at the research level. Therefore, the focus of our dissertation is to study recent results
regarding gradings on E by the group Z. We will study results on the construction of
gradings on E and, using methods from elementary number theory, we will describe the
Z-graded polynomial identities for the so-called 2-induced Z-gradings on E of full support.
As a consequence of this fact, we will show some examples of Z-gradings in E, which are
PI-equivalent, but not Z-isomorphic. This is the first example of graded algebras with
infinite support that are PI-equivalent but not isomorphic as graded algebras. Furthermore,
we will introduce the notion of central Z-gradings on E and show that their Z-graded
polynomial identities are related to the Z2-graded polynomial identities of E. Sejam E a álgebra de Grassmann de dimensão infinita sobre um corpo F de característica
zero e Z o grupo cíclico infinito. No desenvolvimento da Teoria de Kemer, a álgebra
E desempenha papel crucial. Nos últimos anos, as graduações abelianas sobre E e as
respectivas identidades graduadas têm sido abordadas em vários artigos, e ainda é um
tema bastante fértil a nível de pesquisa. Diante disso, o foco da nossa dissertação é estudar
recentes resultados referentes a graduações sobre E pelo grupo Z. Iremos estudar resultados
sobre a construção de graduações em E e, utilizando métodos da Teoria Elementar dos
Números, vamos descrever as identidades polinomiais Z-graduadas para as chamadas
Z-graduações 2-induzidas em E de suporte completo. Como consequência deste fato, serão
mostrados alguns exemplos de Z-graduações em E que são PI-equivalentes, mas não são
Z-isomorfas. Este é o primeiro exemplo de álgebras graduadas com suporte infinito que são
PI-equivalentes, mas não isomorfas como álgebras graduadas. Além disso, vamos apresentar
a noção de Z-graduações centrais em E e mostrar que suas identidades polinomiais Zgraduadas estão intimamente relacionadas com as identidades polinomiais Z2-graduadas de E.