La conjetura de Vaught

Abstract

The purpose of this undergraduate thesis is to do an analysis and count of some of the results and advances on the Vaught Conjecture formulated by the mathematician Robert Lawson Vaught in 1961. Said Conjecture States that if a complete theory has more than a countable number of Numerable models, then you must have exactly 2 ω countable models. The first chapter gives the necessary notation that will be used to In the course of the thesis, basic notions are defined and well-known theorems, propositions and lemmas are formulated within the theory of models, which will serve as a tool for later results. The second chapter defines the atomic models and models Ω-saturated ions, which play an important role throughout the thesis. The Theorems of Existence and Theorems of Oneness are demonstrated for the atomic models as well as for the ω-saturated models. In addition, we test the following theorem, Theorem: Any complete theory T with a countably saturated model has a numerable atomic model. Using mainly these theorems plus some corollaries we conclude this chapter with the test of the Vaught Theorem [1], which says it following, Vaught’s Theorem: No complete theory has exactly two Non-isomorphic countable models. In Chapter 3 we use the infinite language L ω 1, ω to define To a fragment F which is a subset of L ω 1, ω which contains all first order formulas and is closed under subformulas, combinations finite Boolean, finite quantification and low free variable changes. We also define what F-types are very similar to what they are the types in L.

El propósito de esta tesis de licenciatura es hacer un análisis y recuento de algunos de los resultados y avances sobre la Conjetura de Vaught formulada por el matemático Robert Lawson Vaught en 1961. Dicha Conjetura afirma que si una teoría completa tiene más de una cantidad numerable de modelos numerables, entonces debe tener exactamente 2 ω modelos numerables. En el primer capítulo se da la notación necesaria que se utilizará a lo largo de la tesis, se definen nociones básicas y se enuncian teoremas, proposiciones y lemas muy conocidos dentro de la teoría de modelos, los cuales servirán como herramienta para resultados posteriores. En el segundo capítulo se definen los modelos atómicos y los modelos ω-saturados, los cuales desempeñan un papel importante a lo largo de la tesis. Se demuestran los Teoremas de Existencia y Teoremas de Unicidad para los modelos atómicos así como para los modelos ω-saturados. Además, probamos el siguiente teorema, Teorema: Toda teoría completa T con un modelo contablemente saturado tiene un modelo atómico numerable. Usando principalmente estos teoremas más algunos corolarios concluimos este capítulo con la prueba de el Teorema de Vaught[1], el cual dice lo siguiente, Teorema de Vaught: Ninguna teoría completa tiene exactamente dos modelos numerables no isomorfos. En el capítulo 3 hacemos uso del lenguaje infinitario L ω 1, ω para definir a un fragmento F el cual es un subconjunto de L ω 1, ω que contiene a todas las fórmulas de primer orden y es cerrado bajo subfórmulas, combinaciones booleanas finitas, cuantificaciones finitas y bajo cambios de variables libres. Definimos también lo que son los F -tipos de manera muy similar a lo que son los tipos en L.