Solución paralela en un Procesador Gráfico para la ecuación de Advección-Difusión-Reacción.

Abstract

En este trabajo se resuelve la ecuación de Advección-Difusión-Reacción (ADR), por medio del método de diferencias finitas con los esquemas explícito e implícito en un procesador gráfico en una, dos y tres dimensiones. Primero se resuelve la ecuación ADR con el esquema explícito, con lo cual se obtiene una ecuación de recurrencia, en la que la solución en el tiempo presente solo depende del tiempo anterior y no es necesario guardar en una matriz los coeficientes de las variables. De esta manera, cada una de las variables se mapea en un hilo del procesador gráfico. Por otro lado, se resuelve la ecuación ADR con un esquema implícito, en este caso se forma un sistema de ecuaciones que se representa por medio de una matriz rala, la cual complica la implementación en paralelo de la solución del sistema de ecuaciones por métodos directos. Por lo tanto, se opta por usar un método iterativo, para lo cual la solución con el esquema implícito se plantea como un problema de optimización y se resuelve con el método de gradiente biconjugado, que aprovecha los características de una matriz rala. La implementación paralela en el procesador gráfico se lleva a cabo usando las bibliotecas de funciones CUBLAS y CUSPARSE. Se hace una comparación del tiempo de ejecución entre los métodos explícito e implícito, con el mismo incremento de tiempo en cada método, se observa que la optimización lograda con el método de gradiente biconjugado es poco eficiente, lo que ocasiona que el enfoque implícito no sea mejor que el explícito en las simulaciones realizadas. __________________________________ In this thesis the equation of Advection-Diffusion-Reaction (ADR) is solved, by means of finite differences method with explicit and implicit schemes in a graphic processor for one, two and three dimensions. First the ADR equation is solved with the explicit scheme, which gives a recurrence equation in the solution so that the present time only depends on the previous time and it is not necessary to store the coefficients into an array, in this way each varible is processed by a single thread on a GPU. Moreover, the ADR equation is solved with an implicit scheme that in this case forms a system of equations with a sparse matrix that contains the coeficients. This system can not be paralelized easily by direct method on a GPU, then the solution with the implicit scheme is proposed as an optimization problem and is solved by the biconjugate gradient method, which takes advantage of a sparse matrix. The parallel implementation is accomplished using the CUSPARSE and CUBLAS libraries. A comparison of execution time is made between the explicit and implicit methods with the same time increment in each method, it is noted that the optimization achieved with the gradient method is inefficient. What causes that the implicit approach is not better than explicit in the simulations.