Deducción teoremática y resolución de problemas : la relevancia de Peirce para la concepción heurística de la matemática

Abstract

El análisis de procedimientos mediante los cuales el matemático resuelve problemas ha desplazado el análisis de fundamentos en la filosofía de la matemática, motivando una revisión del papel de la lógica como herramienta de análisis. La dificultad principal es su incapacidad para explicar cómo se introducen hipótesis y el uso frecuente de representaciones icónicas. Nuestro propósito es mostrar que la noción alternativa de “deducción teoremática” de Peirce, permite responder a esas dificultades. Brevemente, la deducción teoremática requiere, primero, construir un diagrama de las premisas y, luego, experimentar con el mismo hasta visualizar la conclusión. La deducción teoremática se distingue de la concepción tradicional de la deducción, limitada al análisis del contenido implícito en las premisas del razonamiento. En nuestro trabajo comparamos, por un lado, la perspectiva de Peirce con críticas contemporáneas de la lógica y, por otro, consideramos el estudio de dos casos históricos significativos: la resolución platónica del problema de la duplicación del cuadrado (Menón 81c-85d), y el método de transmutación de curvas que Leibniz propone en De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis (1672-1676). A diferencia de la concepción tradicional, Peirce entiende la deducción como el procedimiento que determina lo que sería necesariamente verdadero bajo ciertas hipótesis, lo cual va ligado a su idea de que todo razonamiento matemático es razonamiento deductivo y todo razonamiento deductivo es matemático en tanto involucra aspectos diagramáticos. Según Peirce, la concepción tradicional es limitada, pues no siempre la deducción es meramente explicativa. Peirce encuentra así una solución a la paradoja entre la existencia de auténticos descubrimientos matemáticos y la necesidad de esos resultados. Por otra parte, la noción de deducción teoremática destaca el rol de representaciones icónicas como modelos de “lápiz y papel” con los que el matemático experimenta para resolver problemas. Este procedimiento de experimentación diagramática es análogo al procedimiento de experimentación con objetos físicos y es allí donde Peirce encuentra la unidad fundamental entre el razonamiento matemático y el razonamiento científico. La experimentación diagramática es justamente el rasgo distintivo de la deducción teoremática. La misma es un procedimiento creativo en el que se añaden elementos nuevos que hacen posible resolver un problema. La propuesta de Peirce es una propuesta abierta a una variedad de perspectivas aun por explorar que en todo caso deberá partir del estudio de casos históricos de la practica investigativa.