Oscilações lineares e não-lineares em circuitos elétricos e estudo de circuitos memristores hamiltonianos

Abstract

O presente trabalho tem como objetivo apresentar um estudo detalhado da estabilidade das oscilações geradas pelas equações diferenciais ordinárias, lineares e não-lineares, que modelam circuitos elétricos. As soluções de tais equações podem ser periódicas, amortecidas ou caóticas. Iniciamos com o estudo dos circuitos RLC, modelados por equações lineares, e em seguida estudamos as conhecidas equações não-lineares de Van der Pol e Du ng. Com base nesse estudo, analisamos as bifurcações que ocorrem em sistemas não-lineares de equações diferenciais, que servem como modelo matemático de circuitos elétricos formados por certas combinações dos quatro componentes eletrônicos fundamentais: capacitor, indutor, resistor e memristor. A existência dos memristores (ou resistores com memória) foi teoricamente proposta na década de 1970, e sua construção física foi possível somente em 2008, com o desenvolvimento da nanotecnologia. Estima-se que tal componente possui um grande potencial de aplicações, sendo assim o estudo de modelos matemáticos de circuitos elétricos envolvendo memristores despertou grande interesse da comunidade cientí ca. Além do estudo teórico das equações diferenciais, ao longo do trabalho desenvolvemos experimentos computacionais com o Software MAPLE, para melhor compreender o comportamento das soluções. O principal objetivo da análise aqui desenvolvida é obter um melhor entendimento do comportamento dinâmico dos memristores, ao serem conectados aos outros componentes elétricos (capacitores, indutores e resistores).

The present work aims to present a detailed study of the stability of oscillations generated by linear and non-linear ordinary di erential equations, which are used to model electrical circuits. The solutions of such equations can be periodic, damped or chaotic. We start with the study of the RLC circuits, modeled by linear equations, and then we study the well-known non-linear van der Pol and Du ng equations. Based on this study, we analyzed the bifurcations that occur in a system of non-linear di erential equations, which serves as a mathematical model of electrical circuit formed by some combinations of the four fundamental electronic components: capacitor, inductor, resistor and memristor. The existence of memristors (or memory resistor) was theoretically proposed in the 1970s, and their physical construction was only possible in 2008, with the development of nanotechnology. It is estimated that such a component has great potential for applications, so the study of mathematical models of electrical circuits involving memristors has aroused great interest in the scienti c community. In addition to the theoretical study of di erential equations, throughout the work we developed computational experiments with the Software MAPLE, to better understand the behavior of the solutions. The main purpose of our analysis is to better understand the dynamical behavior of memristors, when connected to the other circuit elements (capacitors, inductors and resistors).