Formulação H2/Hoo do controle LQR robusto aplicado a domínios convexos e fechados

Abstract

A principal contribuição dessa tese é propor a representação H2/Hoo do regulador linear quadrático (LQR) para sistemas lineares invariantes no tempo e incertos. A motivação está em atender simultaneamente a minimização da função custo garantido e dos efeitos de entradas exógenas. De início, apresenta-se uma revisão da formulação do problema LQR usando-se a função de Lyapunov quadrática e, posteriormente, sua extensão aos modelos de incertezas. Neste ponto, a literatura volta-se exclusivamente ao uso de funções de Lyapunov com uma única matriz P para testar a estabilidade de todo o domínio de incerteza politópica, que naturalmente conduz a algum conservadorismo. Em vista de reduzir o pressuposto conservadorismo explorou-se técnicas de relaxação matricial através de lemas consolidados na literatura, i.e. Lema de Finsler e Lema da Projeção Recíproca. As novas formulações de síntese robusta permitem obter condições suficientes em desigualdades matriciais lineares (LMIs) por meio de funções de Lyapunov dependentes de parâmetros, embora não considere os efeitos da perturbação no processo de síntese de controle. Logo, o estudo da rejeição à perturbações permitiu obter condições LMIs inéditas envolvendo as normas H2/Hoo . Adicionalmente, é proposto o estudo da robustez da planta em malha fechada, via descrição combinada de incertezas nas matrizes de estados e de entradas, e do controlador, aplicando técnicas de fragilidade via incertezas limitadas por norma. Por fim, propõe-se um método de controle LQR gain scheduling aplicado a sistemas lineares variantes no tempo. Nesta proposta utilizou-se a estabilidade quadrática das formulações por Lema de Finsler. Uma abordagem mais geral permitiu projetar controladores gain scheduling robustos, o qual é scheduling a falhas estruturais e robusto no que se refere as matrizes paramétricas do sistema. Ainda, as formulações matriciais permitem atribuir a priori uma restrição no tempo de estabelecimento dos sinais de estados. Aplicações práticas demonstram o desempenho dos teoremas propostos, cuja validação envolve testes de factibilidade sujeito a variação limite da taxa de decaimento, análise do comportamento temporal dos sinais de interesse e custo computacional dos algoritmos de controle.

The main contribution of this thesis is to propose the H2/Hoo representation of the Linear Quadratic Regulator (LQR) for linear time-invariant uncertain systems. The motivation is to achieve the minimization of guaranteed cost and the effects of exogenous inputs, simultaneously. Initially, a review of the LQR problem formulation using the quadratic Lyapunov function is presented and after, its extension to the uncertain models. At this point, the literature turns to the use of Lyapunov functions with only one matrix P to test the stability of the whole polytopic domain, which naturally leads to some conservatism. The proposed to reduce the assumption conservatism allowed to explore techniques of matrix relaxation through classic lemmas in the literature, i.e. Finsler and Reciprocal Projection lemmas. The new robust synthesis formulations allow to obtain sufficient conditions in Linear Matrix Inequalities (LMIs) control by means of parameter-dependent Lyapunov functions; however, do not consider the perturbation effects on the control synthesis process. Thus, the study of disturbance rejection allowed to obtain new sufficient conditions via mixed H2/Hoo control. Furthermore, robustness studies of the closed-loop plant are proposed based on a mixed representation of uncertainties in the state and input matrices, and the controller robustness, by applying non-fragile theories via norm-bounded uncertainty. Finally, an LQR gain scheduling control method applied to linear time-varying systems is proposed. In this case, the quadratic stability was used in Finsler's Lemma formulations. A general approach allowed to design a robust gain scheduling controllers, which is scheduling to structural failures and robust to plant parametric matrices. The matrix formulations still allow assigning a priori a constraint in the setting time of state signals. Practical applications evaluate the performance of the proposed theorems, whose validation addresses tests of feasibility subject to variation limit of the decay rate, analysis of the temporal behaviour of interest signals and computational effort of the control algorithms.