Mixed Finite Element Methods for Nonlinear Problems in Biomedicine and Biology

Abstract

This thesis aims to develop the mathematical and numerical analysis of nonlinear coupled partial differential equations (PDE’s)-based models that describe certain phenomena in Biology and Biomedicine encompassing generalized bioconvection and deformable image registration. More precisely, we introduce primal and mixed schemes based on finite elements for the aforementioned models, prove the solvability of the continuous and discrete problems, establish the corresponding error estimates, and present a variety of tests to validate the theoretical results and illustrate the performance of such methods including applied examples. We begin with the bioconvective flows model, which describes the hydrodynamics of microorganisms in a culture fluid and takes place in several biological processes, including reproduction, infection, and the marine life ecosystem. The flows are governed by a Navier-Stokes type system coupled to a conservation equation that models the microorganisms concentration. The culture fluid is assumed to be viscous and incompressible with a concentration dependent viscosity. For the mathematical analysis, the model is rewritten in terms of a first-order system based on the introduction of the strain, the vorticity, and the pseudo-stress tensors in the fluid equations along with an auxiliary vector in the concentration equation. The resulting weak model is then augmented using appropriate redundant parameterized terms and rewritten as a fixed-point problem. Existence and uniqueness results for both the continuous and the discrete scheme are obtained under certain regularity assumptions combined with the Lax-Milgram theorem or the Babuška-Brezzi theory, and the Banach and Brouwer fixed-point theorems. Optimal a priori error estimates are also derived and confirmed via numerical examples. Next, we address the study of a deformable image registration (DIR) model, which arises in numerous research fields as a solution to the combination or comparison of a series of images. Specifically, in Biomedicine, there is a need to detect changes in images obtained from the same subject over time, whereby the deformable image registration represents a powerful computational method for image analysis, with promising applications in the diagnosis of human disease. One important and recent application of DIR is the study of local lung tissue deformation from computed-tomography images of the thorax, which allows the early detection of damage induced by mechanical ventilation in the lung. In our case, for the first model studied in this part, which we will call extended deformable image registration problem, we propose a finite element method for its numerical approximation, proving well-posedness of the primal and dual-mixed continuous formulations, as well as of the associated Galerkin schemes. A priori error estimates and the corresponding rates of convergence are also established for both discrete methods. In addition, we provide numerical examples confronting our formulations with the standard ones. Finally, in order to guarantee an appropriate convergence behavior of the discrete approximations obtained by the aforementioned primal and mixed variational formulations of the image registration problem, we develop an a posteriori error analysis for both schemes in terms of residual estimators, which we prove to be reliable and efficient. Based on the latters, we implement adaptive mesh-refinement schemes for the formulations, confirm their properties and illustrate their applicability using medical brain images and binary images.

Esta tesis tiene como objetivo desarrollar un análisis matemático y numérico de modelos basados en ecuaciones diferenciales parciales (PDE’s) acopladas y no lineales que describen ciertos fenómenos en Biologı́a y Biomedicina que abarcan la bioconvección generalizada y el registro de imágenes deformables. Más precisamente, introducimos esquemas primales y mixtos basados en elementos finitos para los modelos antes mencionados, probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, establecemos las estimaciones de error correspondientes y presentamos una variedad de experimentos numéricos para validar los resultados teóricos e ilustrar el desempeño de tales métodos incluyendo ejemplos aplicados. Iniciamos con el modelo de flujos bioconvectivos el cual describe la hidrodinámica de un cultivo de microorganismos y se usa para estudiar y entender diversos procesos biológicos tales como la reproducción, infecciones, y el ecosistema de la vida marina. Desde un punto de vista matemático, el problema está constituido por ecuaciones tipo Navier-Stokes para el movimiento del fluido acoplada a una ecuación de conservación para describir la hidrodinámica y la concentración de microorganismos, respectivamente. El cultivo se asume como un fluido viscoso e incompresible con una viscosidad dependiente de la concentración. Para el análisis matemático de este modelo, se reescribe en términos de un sistema de primer orden basado en la introducción de los tensores de esfuerzo, de vorticidad y de pseudo-estrés en las ecuaciones de fluidos junto con un vector auxiliar en la ecuación de concentración. La formulación débil resultante se aumenta utilizando términos parametrizados redundantes apropiados y lo reescribimos como un problema de punto fijo. La existencia y unicidad, tanto para el esquema continuo como para el discreto se obtienen bajo ciertos supuestos de regularidad combinados con el teorema de Lax-Milgram o la teorı́a de Babuška-Brezzi y los teoremas de punto fijo de Banach y Brouwer. También derivamos estimaciones de error a priori óptimas y que se ilustran a través de experimentos numéricos. Luego, estudiamos un modelo de registro deformable de imágenes (DIR, por sus siglas en inglés), el cual surge en un gran número de campos de investigación como solución a la combinación o comparación de una serie de imágenes. Especı́ficamente, en biomedicina, existe la necesidad de detectar cambios en imágenes obtenidas a partir de un mismo sujeto a través del tiempo, por lo cual, el registro deformable de ellas representa un poderoso método computacional para analizar imágenes biomédicas, con prometedoras aplicaciones en el diagnóstico en enfermedades humanas. Una aplicación importante y reciente de este problema es estudiar la deformación regional del tejido pulmonar a partir de imágenes de tomografı́a computarizada del tórax, lo cual permite la detección temprana del daño inducido por ventilación mecánica en el pulmón. En nuestro caso, para el primer modelo estudiado en esta parte, el cual llamaremos problema de registro deformable de imágenes extendido, proponemos un método de elementos finitos para su aproximación numérica, probando que las formulaciones continuas primal y dual-mixta, ası́ como de los esquemas de Galerkin asociados están bien puestos. También se establecen estimaciones de error a priori y las correspondientes tasas de convergencia para ambos métodos discretos. Adicionalmente, proporcionamos ejemplos numéricos que comparan nuestras formulaciones con la estándar. Finalmente, con el fin de garantizar un comportamiento de convergencia adecuado de las aproximaciones discretas que se obtienen a través de las formulaciones variacionales primales y mixtas antes mencionadas para el problema de registro de imágenes, desarrollamos un análisis de error a posteriori para ambos esquemas en términos de estimadores residuales, que demostramos ser confiables y eficientes. Basados en estos últimos, implementamos esquemas adaptativos de refinamiento de malla para las formulaciones, confirmamos sus propiedades e ilustramos la aplicabilidad de éstos utilizando imágenes médicas cerebrales e imágenes sintéticas.