Mixed Finite Element Methods for Coupled Diffusion Problems in Mechanics

Abstract

The aim of this thesis is to develop new mixed finite element methods for generating approximate solutions to problems governed by coupled systems of partial differential equations arising in the modelling of fluid and solid mechanics. In particular, we focus on two models: stress-assisted diffusion and a phase change framework. Due to the scarce information concerning mathematical and numerical analysis for these specific models, in this thesis we propose to establish well-posed finite element approaches in order to obtain existence and uniqueness of the solution. Thus, for the mathematical and numerical analysis, we introduce primal and mixed schemes, and then, by using classical techniques and results, we prove the solvability of the continuous and discrete problems, and establish the corresponding error estimates. In turn, for all problems mentioned above, numerical experiments validate the theory. Moreover, several tests illustrate the applicability of these schemes, including the simulation of microscopic electrode damage in lithium ion batteries, phase change in a cuboid cavity, and melting of solid materials. We begin with the mathematical and numerical analysis of a coupled elasticity-diffusion system modeling the transport phenomena and chemical interactions within a solid. The coupling is introduced with a so-called stress-enhanced diffusion framework, where the propagation of the species is affected by stresses generated by solid motion. The system is fomulated in terms of stress, displacement and rotation for the elasticity equations, whereas concentration is used for the diffusion problem. For the mathematical analysis, two variational formulations are proposed, namely mixed-primal and augmented mixed-primal approaches. The solvability of the resulting coupled formulations is established by combining fixed-point arguments, regularity estimates, Babuška-Brezzi theory and the Lax-Milgram lemma. We then construct corresponding Galerkin discretisations based on adequate finite element spaces, and derive optimal a priori error estimates. Next, we analyse the model presented above, but we do so based on a fully-mixed formulation. Based on regularity considerations, an augmented mixed formulation for the diffusion problem is proposed, whereas the classical stress-displacement-rotation mixed formulation is used for the elasticity equations. The resulting Galerkin scheme yields an augmented fully-mixed finite element method employing Arnold-Falk-Winther elements for elasticity, and a Raviart-Thomas in conjunction with a piecewise polynomial triplet for the mixed-diffusion equations. The well-known Schauder and Brouwer fixed point theorems are utilised to establish the existence of solutions of the continuous and discrete formulations, respectively. Then, sufficiently small data allow us to prove uniqueness of solution and to derive optimal a priori error estimates. In addition, a posteriori error analysis and adaptive computations in two dimensions are further carried out for the aforementioned mixed-primal and fully mixed approaches. For the analysis of the reliability of the residual-based a posteriori error indicators, we proceed using continuous global inf-sup conditions that come from the well-posedness of the continuous problem, together with stable Helmholtz decompositions, and approximation properties of the involved interpolation operators. Also, we use localisation techniques through edge- and face-bubble functions as well as inverse and discrete trace inequalities, in an adequately modified context, to derive the efficiency of the estimators. Next, we address the modelling of phase change in Boussinesq-type models within porous media. A finite element method is proposed for its numerical approximation, where the properties of stability, existence and uniqueness of the continuous and discrete equations are established using classical techniques for nonlinear evolutive problems, such as Galerkin’s method, Gronwall’s inequality and Brouwer’s fixed point theorem. Next, we test the performance of the method using a classical benchmark for air convection, where the scaled viscosity is one, there is no porosity, and no enthalpy terms. Then, we simulate the melting of a material, where the phase change is incorporated using either viscosity or porosity as then main effect producing the interface movement. Finally, we present two new augmented variational formulations for a stationary phase change problem, namely, mixed-primal and fully-mixed formulations. Taking advantage of the regularity assumed for the velocity, we do not introduce here the rotation as an additional unknown, which is one of the novelties of this part. Thus, the main unknowns associated with the method are: the pseudostress, strain rate and velocity for the Navier-Stokes-Brinkman equations, whereas temperature, normal heat flux on the boundary, and an auxiliary unknown are introduced for the energy conservation equation. We prove solvability of both continuous and discrete problems, and derive the corresponding error analysis.

El objetivo de esta tesis es desarrollar nuevos métodos de elementos finitos mixtos para generar soluciones aproximadas a problemas acoplados que se rigen por sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, los cuales surgen en la mecánica de fluidos y sólidos. En particular, nos enfocamos en dos modelos: difusión asistida por esfuerzo y un problema de cambio de fase. Debido a la poca información matemática y numérica relacionada con este tipo específico de problemas, en esta tesis proponemos establecer aproximaciones bien puestas de elementos finitos, con la intención de obtener existencia y unicidad de la solución. Así, para el análisis matemático y numérico, introducimos esquemas mixtos y primales, y entonces, usando técnicas y resultados clásicos, probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, y establecemos las estimaciones de error correspondientes. A su vez, para todos los problemas mencionados anteriormente, se presentan experimentos numéricos que validan la teoría propuesta. Además, se presenta una variedad de ejemplos aplicados de interés, los cuales incluyen: la simulación del daño de electrodos microscópicos en baterías de iones de litio, cambio de fase en una cavidad cuboide, y derretimiento de un material sólido. Comenzamos con el análisis matemático y numérico de un sistema acoplado regido por las ecuaciones de elasticidad-difusión, el cual, modela los fenómenos de transporte y las interacciones químicas dentro de un sólido. El acoplamiento se introduce por medio de la difusión asistida por esfuerzo, donde la propagación de especies se ve afectada debido a los esfuerzos generados por el movimiento del sólido. El sistema se formula en términos del esfuerzo, desplazamiento y rotación para las ecuaciones de elasticidad, mientras que la concentración es usada para el problema de difusión. Para el análisis matemático, se proponen dos formulaciones variacionales, las cuales llamamos: aproximaciones mixta-primal y completamente mixta aumentada. La solubilidad de las formulaciones resultantes se establece combinando argumentos de punto fijo, estimaciones de regularidad, teoría de Babuška-Brezzi y lema de Lax-Milgram. Luego, construimos las correspondientes discretizaciones de Galerkin basadas en espacios de elementos finitos adecuados y derivamos estimaciones de error a priori óptimas. A continuación, analizamos el modelo presentado anteriormente, pero ahora basados en una formulación completamente mixta. Por razones de regularidad, proponemos aquí una formulación mixta aumentada para el problema de difusión, mientras que la clásica formulación mixta de esfuerzo, desplazamiento y rotación se utiliza para las ecuaciones de elasticidad. El esquema de Galerkin resulta en un método aumentado completamente mixto de elementos finitos, el cual utiliza los elementos Arnold-Falk-Winther para la elasticidad, y un triplete dado por Raviart-Thomas en conjunto con elementos polinomiales a trozos para la ecuación mixta de difusión. Los clásicos teoremas de punto fijo de Schauder y Brouwer se utilizan para establecer la existencia de solución, tanto para la formulación continua como para la discreta. Luego, bajo el supuesto de dato pequeño, nos es posible demostrar unicidad de la solución y obtener estimaciones de error a priori óptimas. Adicionalmente, análisis de error a posteriori y adaptatividad computacional son desarrollados para las formulaciones mixta-primal y completamente mixta mencionadas anteriormente. Para el análisis de la confiabilidad de los indicadores de error basados en términos residuales, procedemos usando la condición inf-sup continua, la cual viene dada de la solubilidad del problema continuo, en conjunto con descomposiciones estables de Helmholtz, donde aprovechamos las propiedades de aproximación de los operadores de interpolación. Además, utilizamos técnicas de localización basada en funciones burbuja sobre triángulos y lados, desigualdades inversas y una desigualdad de trazas discreta, para derivar la eficiencia de los estimadores. Por otro lado, trabajamos con un modelo de cambio de fase del tipo Boussinesq dentro de medios porosos. Proponemos un método de elementos finitos para su aproximación numérica, donde, las propiedades de estabilidad, existencia y unicidad de las formulaciones continuas y discretas son establecidas aplicando técnicas clásicas para problemas evolutivos no lineales, tales como: el método de Galerkin, la desigualdad de Gronwall y el teorema del punto fijo de Brouwer. Luego, probamos el rendimiento del método utilizando un problema clásico de referencia para la convección del aire, donde la viscosidad escalada es uno, no hay porosidad, ni términos de entalpía. En segundo lugar, simulamos el derretimiento de un material sólido, donde el cambio de fase se incorpora de dos maneras alternativas: ya sea, usando viscosidad o porosidad como principales efectos que producen el movimiento de la interfaz. Finalmente, cerramos esta tesis presentando dos nuevas formulaciones variacionales aumentadas para un problema estacionario de cambio de fase, las cuales llamamos: formulaciones mixta-primal y totalmente mixta. Aprovechando la regularidad asumida para la velocidad, no necesitamos introducir aquí la rotación como una nueva incógnita, lo cual es una de las novedades de esta tesis. Así, las principales incógnitas asociadas a nuestro método son: el pseudo-esfuerzo, la tensión y la velocidad para las ecuaciones de de Navier-Stokes-Brinkman, mientras que la temperatura, el flujo de calor normal en la frontera y una incógnita auxiliar son introducidas para la ecuación de conservación de energía. Probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, y derivamos el análisis de error correspondiente.