Tesis
Elementos finitos con divergencia nula en dominios con topología general y aplicaciones = Divergence-free finite elements in general topological domains and applications.
Autor
Santos Núñez De Los, Eduardo Antonio
Institución
Resumen
El objetivo principal de esta tesis es extender al alto orden algunas técnicas de construcción
de bases de los espacios de elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia nula,
las cuales son conocidas en el caso de grado uno. Conocer una base del subespacio de
funciones con divergencia nula es una alternativa conveniente a la técnica usual que usa
multiplicadores de Lagrange. La desventaja de usar multiplicadores de Lagrange es que se
introduce una nueva incógnita que hay que discretizar dando lugar a un sistema linear más
grande con una matriz que no es simétrica definida positiva incluso cuando que la forma
bilineal asociada a la formulación variacional del problema en el espacio con restricciones
es simétrica y coerciva.
En primer lugar proponemos y analizamos un algoritmo eficiente para la construcción de
una base del espacio de elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia nula basado
en técnicas de grafo. El punto clave es notar que con grados de libertad usuales para los
campos en el espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas de grado r + 1 y también
para los elementos del espacio de las funciones polinomiales a trozo de grado r ≥ 0, la matriz
asociada al operador divergencia es la matriz de incidencia de un grafo particular orientado,
conexo y sin auto-bucles. Por medio de la elección de un árbol generador de este grafo, es
posible identificar una submatriz cuadrada invertible de la matriz de divergencia y con esta
matriz invertible es fácil calcular los momentos de un campo en el espacio de los elementos
finitos de Raviart–Thomas con divergencia asignada. Este enfoque extiende a los elementos
finitos de alto orden el método introducido por Alotto y Perugia en [10] para los elementos
finitos de grado uno, por otra parte, los métodos que involucran al árbol generador de un
grafo conexo se remontan a Kirchhoff. El enfoque analizado es utilizado para construir
una base del espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas a divergencia nula. Los
experimentos numéricos muestran que la eficiencia del algoritmo no depende de la topología
del dominio ni tampoco del grado polinomial.