Representación de enteros por formas cuadráticas cuaternarias positivas definidas

Abstract

Estudiamos el problema de representar efectivamente números enteros por formas cuadráticas enteras cuarternarias positivas defi nidas. En 1974, M. Knese¡ ([K], 26.3) demostró el siguiente resultado: Sea / una forma cuadrática entera, regular, positiva definida en 4 variables. Entonces existe una constante ¡f - N(/) con la siguiente propiedad: Si , > ¡\r es un entero representado / sobre zo, para cada primo p, y t no es divisible por aquellos primos p para los cuales / es anisótropa sobre Zr, entonces f es representado por / sob¡e Z. En este trabajo se obtiene una cota efectiva,mente calculable para la constante y'f del teorema anterior, la cual depende sólo de la forma cuadrática / y de una constante absoluta que se puede calcula¡ explícitamente.

In this thesis we study the efective representation of integers by positive definite integral quadratic forms of dimension 4. In 1974, M. Kneser ([K], 26.3) proved the following result: Let / be a positive definite integral form in 4 variables. Then there exists a constant ,¡/ with the following property: If ¿ > ¡f is an integer which is represented by / over Z, for each prime p, and ¿ is not divisible by those primes p for which / is anisotropic over Z* then ú is represented by / over Z. In this work we obtain a bound for the constant y'f appearing in the statement of the above theorem. The bound is effectively computable and it depends only on the quadratic form / and an absolute constant which can be computed expiicitly.