Problemas nodales inversos para ecuaciones ordinarias de segundo orden

Abstract

En esta tesis centramos nuestra atención en la ecuación de Sturm-Liouville de segundo orden -u''= λρ(x)u, x ∈ (0,1), con cierta condición de borde homogénea. Estudiamos la densidad asintótica de los ceros de las autofunciones y analizamos el problema inverso de caracterizar la función peso ρ a partir de los ceros. Consideramos también el problema para el operador Δμ, definido a partir de una medida Boreliana μ soportada en un conjunto posiblemente fractal, y estudiamos cuándo y cómo puede recuperarse el peso en este caso. Para este problema es necesario un mayor análisis del crecimiento de los autovalores, y de la dimensión espectral asociada a μ. Proponemos una dimensión que acota superiormente la dimensión espectral de estos operadores, y obtenemos cotas inferiores de los autovalores.

In this thesis we focus on the second order Sturm-Liouville equation -u''= λρ(x)u, x ∈ (0,1), with some homogeneous boundary condition. We study the asymptotic density of zeros of eigenfunctions and the inverse problem of characterizing the weight function ρ knowing the zeros of eigenfunctions. Given a Borel measure µ, we also study this problem for fractal Laplacians ∆µ. However, a deeper knowledge of the eigenvalues and the spectral dimension is needed, so we propose a new fractal dimension which bounds by above the spectral dimension, and we obtain lower bounds for the eigenvalues.