Modelado de tasas de interés. El modelo Libor market con varianza gaussiana cuadrática

Abstract

Esta tesis se divide en dos partes. Comenzamos con el estudio de modelos continuos de tasas forward y la consistencia con los modelos de tasa short. En este trabajo presentamos dos variedades de curvas de Nelson y Siegel extendidas que son consistentes con los modelos de Ho-Lee y Hull-White. En la segunda parte, nos centramos en el estudio de modelos más realistas que asumen la existencia de una cantidad finita de bonos cupón cero. Proponemos un modelo Libor market diferente donde asumimos que la varianza de la tasa forward sigue un modelo gaussiano cuadrático. Damos la definición de este nuevo modelo y estudiamos la existencia de una única solución en un mundo libre de arbitraje. Describimos las propiedades estadísticas de la varianza y deducimos una fórmula para el precio de la caplet. La fórmula obtenida para valorar las caplets de forma analítica no es una fórmula cerrada por lo que valoramos las caplets de forma numérica. Para ello utilizamos dos métodos, el método Alternating Direction Implicit (ADI) y el método de Monte Carlo al cual le aplicamos la variación de muestras antitéticas con el fin de reducir la varianza del estimador. Mostramos los resultados obtenidos para la valoración de las caplets con ambos métodos. Posteriormente mostramos la fórmula para valorar swaptions según nuestro modelo. Por último, nos centramos en el estudio de las sonrisas de volatilidad que se pueden obtener. Observamos que este modelo permite una gran flexibilidad de curvas de volatilidad de acuerdo a los parámetros considerados.

The thesis consists of two parts. The first part of this thesis addresses questions related to the study of continuous forward rate models and consistency with the short rate models. In this paper we will introduce two varieties of extended Nelson and Siegel family curves that are consistent with the Ho-Lee and Hull-White models. In the second part of this thesis we will focus on the study of more realistic models that assume the existence of a finite amount of zero-coupon bonds. We propose a different Libor market model where we assume that the variance of the forward rate follows a quadratic Gaussian model. We give the definition of this new model and prove the existence of a unique solution in a free arbitrage world. We describe the statistical properties of the variance and deduce a formula for the price of the caplet. The formula obtained to assess the caplets analytically is not a closed formula, so we value the caplets numerically. We choose to use two methods, the Alternating Direction Implicit method (ADI) and the Monte Carlo method to which we apply the variation of antithetical samples in order to reduce the estimator variance. We present the results obtained for the valuation of the caplets with both methods. Later we set the formula to evaluate swaptions according to our model. Finally, we focus on the study of the volatility smiles that can be obtained. We note that this model allows great flexibility of volatility curves according to the parameters considered.