Tesis de licenciatura
La rigidez cuasi-isométrica de Z
Fecha
2019-12Autor
Vaca Vaca, Catalina
Resumen
"Este trabajo presenta un primer ejemplo relativamente simple de estas técnicas de la teoría geométrica de grupos. Primero se recuerdan algunos preliminares de la teoría de grupos y grafos. Posteriormente, se trata a los grupos finitamente generados, se les asocia con un grafo de Cayley que resultara un espacio métrico con la métrico de las palabras. Luego se estudian algunas transformaciones geométricas a través de isometrías, encajes bi-Lipchitz y cuasi-isometrías. De estos se obtiene una relación entre la cuasi-densidad (una propiedad geométrica) y los subgrupos de índice finito (una propiedad algebraica). Más tarde, el teorema fundamental de la teoría geométrica grupos, también llamado el LemaSchwarz-Milnor, resulta ser un vínculo entre el índice finito y las cuasi-isometrías, que da pie a los problemas de rigidez cuasi-isométrica, que tratan equivalencias entre cuasi-isometrías y subgrupos de índice finito con alguna propiedad. Después de varios ejemplos particulares será natural preguntarse, para el caso específico de Z (un grupo cíclico infinito) qué grupos son cuasi-isométricos a Z y cuando un grupo contiene una copia isomorfa a Z de índice finito. La relación entre estas dos preguntas es lo que llamaremos la rigidez cuasi-isométrica de Z."