Trabajo de grado - Maestría
Aplicación del método de darboux en el análisis de integralidad de un sistema diferencial de tipo lotka-volterra
Registro en:
Universidad Tecnológica de Pereira
Repositorio UTP
Autor
José Fabian , Valencia Parra
Institución
Resumen
En este trabajo se estudia el problema de existencia de la primera integral para sistemas de
ecuaciones diferenciales de la forma
x˙ = f1(x, y, z)
y˙ = f2(x, y, z)
z˙ = f3(x, y, z),
donde f1, f2, f3 son funciones polinomiales. Se aplica un m´etodo que permite encontrar
condiciones de integrabilidad en el origen; dicho m´etodo se conoce como el m´etodo de
integrabilidad de Darboux, el cual usa curvas algebraicas invariantes en la construcci´on de una
primera integral.
Como aplicaci´on de este m´etodo se considera un sistema diferencial tipo Lotka-Volterra cuyas
ecuaciones est´an dadas por:
x˙ = −x(x + αy + βz) = P(x, y, z)
y˙ = −y(βx + y + αz) = Q(x, y, z)
z˙ = −z(αx + βy + z) = R(x, y, z),
donde α, β ∈ R y x, y, z representa la interacci´on de las especies. In this work we study the existence problem of the first integral for systems of differential
equations of the form
x˙ = f1(x, y, z)
y˙ = f2(x, y, z)
z˙ = f3(x, y, z),
where f1, f2, f3 are polynomial functions. A method is applied to find integrability conditions
at the origin; this method is known as the Darboux integrability method, which uses invariant
algebraic curves in the construction of a first integral.
As an application of this method we consider a Lotka-Volterra type differential system whose
equations are given by:
x˙ = −x(x + αy + βz) = P(x, y, z)
y˙ = −y(βx + y + αz) = Q(x, y, z)
z˙ = −z(αx + βy + z) = R(x, y, z),
where α, β ∈ R and x, y, z represents the species interaction. Maestría Magíster en Matemática 1. GENERALIDADES 9
GENERALIDADES 9
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. PRELIMINARES 12
2.1. Existencia y propiedades de las primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Caracterización y propiedades de las primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Independencia de las primeras Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Integrabilidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Clases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6. Curvas algebraicas y campos diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. TEORíA CLASICA DE INTEGRABILIDAD DE DARBOUX 24
3.1. Teorema de Integrabilidad de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. METODO DE DARBOUX 27
4.1. Teoría de integrabilidad de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. APLICACION AL MODELO LOTKA-VOLTERRA 34 ´
5.1. Sistema Lotka-volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.1. Análisis de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1.2. Dinámica del sistema para el Caso 1. α + β = 2 y (α, β) 6= (1, 1). . . . . . 39
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS 40
BIBLIOGRAFíA 41