Non-commutative differential calculus of some algebras of polynomial type having PBW bases

Abstract

In this work, we study the notion of differential calculus associated to an associative algebra, from its origin in manifolds geometry, to some generalizations in non commutative differential geometry. In particular, we inquire the notion of differentially smoothness of an algebra, which treats about the existence of differential calculus structures that satisfies conditions relative to the Gelfand-Kirillov dimension of the base algebra, a condition of connectedness over the differential, and the existence of a volume form that allow to construct isomorphisms between the homogeneous sets of forms and the dual of these sets, such as in manifolds theory. We also study the Brzezinski's differential calculus, which is a differential calculus constructed from a finite set of skew derivations, and the Brzezinski's integral calculus, that is a pair of a cokernel and a hom-connection that induces a complex of integral forms over the Brzezinski's differential calculus. Finally, we study automorphisms and skew derivations of some 3-dimensional diffusion algebras, generalized Weyl algebras and skew polynomial algebras, which are objects having PBW bases.

En este trabajo, estudiamos la noción de cálculo diferencial asociado a un álgebra asociativa, desde su origen en la geometría de variedades, hasta algunas generalizaciones en la geometría diferencial no conmutativa. En particular, investigamos la noción de álgebra diferencialmente suave, que consiste en la existencia de estructuras de cálculo diferencial que satisfacen condiciones relativas a la dimensión de Gelfand-Kirillov del álgebra base, una condición de conexidad sobre la diferencial, y la existencia de una forma de volumen que permite construir isomorfismos entre los conjuntos homogéneos de formas y el dual de estos conjuntos, tal cual como en la teoría de variedades. También estudiamos el cálculo diferencial de Brezezinski, el cual es un cálculo diferencial construido a partir de un conjunto finito de derivaciones torcidas, y el cálculo integral de Brzezinski, que consta de una pareja de un conúcleo y una conexión-hom que permite inducir un complejo de formas integrales sobre el cálculo diferencial de Brzezinski. Finalmente, estudiamos automorfismos y derivaciones torcidas de algunas álgebras de difusión, álgebras de Weyl generalizadas y álgebras polinomiales torcidas que son 3-dimensionales, las cuales son objetos que poseen bases PBW.