Traces in symmetric monoidal categories

Abstract

The objective of this work is to generalize basic ideas from linear algebra and topology, such as traces and fixed points, into a categorical context. Each of those generalizations has important objects and ideas behind, such as the Thom spectrum and stable homotopy phenomena. Throughout this thesis, we intend to connect those generalizations by means of dualizability, in order to tell a story from both categorical and topological approaches. We then try to go beyond those topics and we study distant but related topics that were born as particular examples of the abstract theory, for instance, the stable homotopy category (example of monoidal category), Atiyah duality (example of dualizability), and the Thom spectrum (example of a dualizable object).

El objetivo de este trabajo es generalizar ideas básicas del álgebra lineal y la topología, tales como trazas y puntos fijos, en un contexto categórico. Cada una de esas generalizaciones tiene detrás objetos e ideas importantes, como el espectro de Thom y homotropía estable. A lo largo de esta tesis, pretendemos conectar esas generalizaciones por medio de la dualidad, para contar una historia desde enfoques tanto categóricos como topológicos. Luego tratamos de ir más allá de esos temas y estudiamos temas distantes pero relacionados que nacieron como ejemplos particulares de la teoría abstracta, por ejemplo, la categoría de homotropía estable (ejemplo de categoría monoidal), la dualidad de Atiyah (ejemplo de dualizabilidad) y el espectro de Thom (ejemplo de objeto dualizable).