Isomonodromic deformations through differential Galois theory

Abstract

The text begins with a brief description of differential Galois theory from a geometrical perspective. Then, parameterized Galois theory is developed by means of prolongation of partial connections to the jet bundles. The relation between the parameterized differential Galois groups and isomonodromic deformations is unfold as an application of Kiso-Cassidy theorem. It follows the computation of the parameterized Galois groups of the general fuchsian equation and Gauss hypergeometric equation. Finally, some non-linear applications are developed. By means of a non-linear analog, Kiso-Morimoto theorem, the Malgrange groupoid of Painlevé VI equation with variable parameters is calculated.

El texto comienza con una breve descripción de la teoría de Galois diferencial desde una perspectiva geométrica. Luego la teoría de Galois con parámetros se presenta mediante las prolongaciones de conexiones parciales en los fibrados de jets. La relación entre el grupo de Galois con parámetros y las deformaciones isomonodrómicas se desarrolla como una aplicación del teorema de Kiso-Cassidy. Se calculan los grupos de Galois con parámetros de la ecuación fuchsiana general y de la ecuación hiper-geométrica de Gauss. Finalmente se desarrollan algunas aplicaciones no lineales. Mediante un análogo no lineal, a saber el teorema de Kiso–Morimoto, se calcula el grupoide de Malgrange de la ecuación de Painlevé VI con parámetros variables.