Espacios Moduli de Conexiones Planas en G-fibrados Principales

Abstract

Los espacios moduli de conexiones planas surgen en diferentes áreas. Por ejemplo enfísica, estos espacios aparecen al estudiar las ecuaciones de Y ang-Mills, que son una generalización de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, en una variedad suave de dimensión 2. Las conexiones en un G-fibrado principal P ! M nos indican una manera explícita de hacer transporte paralelo sobre P. Es así como actualmente muchos tópicos de investigación en teoría cuántica de campos están relacionados con dichos espacios. En este trabajo estamos interesados en estudiar estos espacios moduli desde un punto de vista meramente topológico, como se describe a continuación: Dado un G-fibrado principal _ : P ! M, una conexión en P es un subfibrado H de TP tal que para todo p 2 P, TpP = Hp _ker(d_p) y Hpg = dRg(Hp) y a esta conexión le podemos asociar de manera única una 1-forma _ en P con valores en g, el álgebra de Lie de G. Ahora, la 2-forma F_ := d_ + 1 2 [_; _] es llamada la curvatura de _, y decimos que H es una conexión plana si su curvatura es trivial, es decir, si F_ = 0. Por otra parte, si _1 : P ! M y _2 : Q ! M son G-fibrados principales sobreM, con conexiones H1 y H2 respectivamente, decimos que estos fibrados son gauge equivalentes si existe una función suave f : P ! Q que es G-equivariante tal que _2 _ f = _1 y dfp(H1 p ) = H2 f(p) para todo p 2 P. Lo anterior nos permite definir el Espacio Moduli de Conexiones Planas en G- fibrados Principales que será nuestro principal objeto de estudio en esta tesis de la siguiente manera. De manera informal el espacio moduli de conexiones planas en G-fibrados principales sobre una variedad M, es un espacio que parametriza todas las clases gauge de conexiones planas en fibrados sobre M. De manera formal, dado un grupo de Lie G y una variedad suave y conexa M, definimos el espacio moduli de conexiones planas en G-fibrados principales sobre M, denotado por M(M;G) donde P es un G-fibrado principal sobre M, H es una conexión plana en P y _ es la relación de equivalencia gauge de fibrados principales. El primer objetivo principal de esta tesis es identificar el espacio moduli M(M;G) con el espacio de representaciones Rep(_1(M);G) = Hom(_1(M);G)=Gconj, donde G actúa por conjugación. Este trabajo está dividido de la soguiente manera. En el primer capítulo exploramos algunas definiciones básicas como lo son los fibrados principales, las conexiones y la curvatura. En el segundo capítulo identificamos el espacio moduli M(M;G) con el espacio de representaciones Rep(_1(M);G). En el tercer capítulo exploramos los espacios de representaciones y consideramos algunos ejemplos. En particular determinamos el espacio moduli M(M;G) para todas las variedades compactas con grupo fundamental abeliano y para G = U(n) y G = Sp(n). Esta última parte es una nueva contribución de este trabajo