El radical de Jacobson

Abstract

El objetivo principal de esta monografía ha sido el de reunir en un solo texto algunas de las definiciones de radical, e ir mostrando a lo largo de esta, como cada nueva definición contiene a la anterior como caso particular. En el primer capítulo estudiaremos sucesivamente el radical de un anillo conmutativo con unidad, de un anillo con unidad y de un anillo cualquiera. También consideraremos algunas propiedades del radical de un anillo. Este primer capítulo esta basado principalmente en el articulo “The radical and semi-simplicity for arbitrary rings” de N. Jacobson. En el segundo capítulo consideraremos primero el radial de un algebra asociativa para luego estudiarlos en un algebra no asociativa. Como la estructura de un algebra asociativa es muy similar a la de un anillo es fácil ver todos los resultados del primer capítulo son válidos para el radical de las algebras asociativas. El lector podrá observar que el grado de dificulta hasta este punto han sido mínimos. Por el contrario, en el caso no asociativo debemos restringir enormemente nuestras hipótesis y hacer un largo recorrido en preliminares antes de poder garantizar la existencia del radical. El estudio de este caso está basado en el artículo “The radical of a non-associative algebra” de A.A Albert. Como nuestro objetivo ha sido el de concentrarnos en algunas definiciones de radical no hemos querido detenernos en ejemplos de radical. Para el caso de anillo y de algebras asociativas los ejemplos son bastante conocidas. Por el contrario, como las algebras no asociativas no son tan conocidas, es pertinente comentar lo siguiente: los principales ejemplos de estas algebras son las llamadas algebras genéticas, en general ellas son R-algebras no asociativas de dimensión finita. Además cada algebra genética tiene una función asociada a ella llamada la función peso y se sabe que si el radical de un algebra genética existe, este no es mas que el Kernel de dicha función peso. Debemos anotar que también existe el radical de otras estructuras, por ejemplo de módulos, o de grupos de operadores, cuyo estudio no es contemplado en el presente trabajo pero que sería un objeto interesante de estudio.